Задача о замене оборудования

Важнейшей экономической задачей является своевременная замена оборудования, станков, автомобилей и т.п.

Старение оборудования включает физический и моральный износ, в результате которого растут затраты на обслуживание, снижается производительность труда и остаточная стоимость.

Задача: определить оптимальный срок замены старого оборудования.

Критерий оптимальн ости:

· либо максимизация дохода от эксплуатации в течение всего планового периода;

· либо минимизация затрат от эксплуатации.

Рассмотрим задачу максимизации дохода:

определить оптимальную стратегию использования оборудования в течение лет (плановый период), причем прибыль за каждые () лет от использования оборудования возраста лет должна быть максимальной.

Основные предположения модели:

1. Решение о замене оборудования принимается в начале каждого года эксплуатации ().

Может быть принято одно из двух решений: сохранить или заменить оборудование.

Тогда управление на шаге принимает значения:

(3)

Временем на установку нового оборудования пренебрегаем.

2. Состояние системы характеризуется возрастом оборудования.

Если в начале года было принято решение сохранить оборудование возраста , то возраст оборудования к концу года – .

Если в начале года было принято решение заменить оборудование, то возраст оборудования в начале года – 0 лет, а к концу года и началу следующего – год.

Тогда уравнения состояния системы, т.е. состояния, в которое перейдет система через год под действием управления :

(4)

Введем обозначения:

- стоимость продукции, произведенной на оборудовании возраста ;

- ежегодные затраты на обслуживание оборудования возраста ;

- остаточная стоимость оборудования возраста ;

- стоимость нового оборудования.

3. Считаем, что стоимость нового оборудования не меняется:

4. Прибыль от использования оборудования к концу -го планового года:

(5)

Введем обозначение:

– прибыль за один год на оборудовании возраста .

5. Этап условной оптимизации.

Определим функции Беллмана, т.е. условные оптимальные управления на -том году, считая с конца планового периода.

К концу периода рассмотрения:

(6)

К концу -го года с учетом изменения состояния (4):

(7)

Значение даст значение максимальной прибыли.

6. На этапе безусловной оптимизации определяем годы, в начале которых следует заменить оборудование.

Замечание. Если значения функций в верхних и нижних строчках (6)-(7) совпадают, то выбираем управление , т.е. сохраняем оборудование. Тем самым учитываем, что замена оборудования требует хоть какого-то времени.

Пример.

Найти оптимальный план замены оборудования на период 6 лет, если годовая прибыль и остаточная стоимость в зависимости от возраста оборудования к началу года задаются таблицей.

t

Стоимость нового оборудования

Решение.

Введем обозначение:

.

Тогда

Составим таблицу

t

11-13+12=10

10-13+12=9

8-13+12=7

7-13+12=6

5-13+12=4

3-13+12=2

Рассмотрим последний шестой год:

t

11-13+12=10

10-13+12=9

8-13+12=7

7-13+12=6

5-13+12=4

3-13+12=2

с

с

с

с

с

с

Рассмотрим пятый год:

t

11-13+12=10

10-13+12=9

8-13+12=7

7-13+12=6

5-13+12=4

3-13+12=2

с

с

с

с

с

с

10

9

11

7

6

4

12+11

с

11+11

с

11+10

с

10+8

с

8+6

з

10+11

9+11

7+11

6+11

4+11

Рассмотрим четвертый год:

t

11-13+12=10

10-13+12=9

8-13+12=7

7-13+12=6

5-13+12=4

3-13+12=2

с

с

с

с

с

с

12+11

с

11+11

с

11+10

с

10+8

с

8+6

з

10+11

9+11

22

7+11

6+11

4+11

12+22

с

11+21

с

11+18

с/з

10+15

з

10+22

9+22

7+22

6+22

Рассмотрим третий год:

t

11-13+12=10

10-13+12=9

8-13+12=7

7-13+12=6

5-13+12=4

3-13+12=2

с

с

с

с

с

с

12+11

с

11+11

с

11+10

с

10+8

с

8+6

з

10+11

9+11

7+11

6+11

4+11

12+22

с

11+21

с

11+18

с/з

10+15

з

10+22

9+22

32

7+22

6+22

12+32

с

11+29

з

11+28

с/з

10+32

9+32

7+32

Рассмотрим второй год:

t

11-13+12=10

10-13+12=9

8-13+12=7

7-13+12=6

5-13+12=4

3-13+12=2

с

с

с

с

с

с

12+11

с

11+11

с

11+10

с

10+8

с

8+6

з

10+11

9+11

7+11

6+11

4+11

12+22

с

11+21

с

11+18

с

10+15

з

10+22

9+22

7+22

6+22

12+32

с

11+29

з

11+28

с/з

10+32

9+32

7+32

12+41

с

11+39

с/з

10+41

9+41

Рассмотрим первый год:

t

11-13+12=10

10-13+12=9

8-13+12=7

7-13+12=6

5-13+12=4

3-13+12=2

с

с

с

с

с

с

12+11

с

11+11

с

11+10

с

10+8

с

8+6

з

10+11

9+11

7+11

6+11

4+11

12+22

с

11+21

с

11+18

с

10+15

з

10+22

9+22

7+22

6+22

12+32

с

11+29

з

11+28

с/з

10+32

9+32

7+32

12+41

с

11+39

с/з

10+41

9+41

12+50

с

10+50

Таким образом,

– максимальное значение прибыли.

6. Этап безусловной оптимизации.

При этом следует учитывать

t

11-13+12=10

10-13+12=9

8-13+12=7

7-13+12=6

5-13+12=4

3-13+12=2

с

с

с

с

с

с

11

12+11

с

11+11

с

11+10

с

10+8

с

8+6

з

10+11

9+11

7+11

6+11

4+11

12+22

с

11+21

с

11+18

с

10+15

з

10+22

9+22

7+22

29

6+22

12+32

с

11+29

з

11+28

с/з

10+32

9+32

7+32

12+41

с

11+39

с/з

10+41

9+41

12+50

с

10+50

Согласно управлениям оптимальная стратегия:

Тем самым, замена оборудования производится в начале 4 года, возраст оборудования 3 года.

Замечание. Аналогичным образом можно определить оптимальную стратегию использования оборудования любого возраста.