Задача№1-3

Задача №5.

Пусть функция полезности имеет вид U. Даны коэффициенты а0, а1, а2, бюджет

B и цены P1, P2, P3. Составить математическую модель и найти оптимальный набор

благ и его полезность с помощью метода множителей Лагранжа.

Решение задач

Задача№1-3

1. Мат. Модель должна быть создана для определения кол-ва перевозимой продукции от каждого поставщика до каждого потребителя с минимизацией затрат С.
2. Ограничения наложены в задаче на ресурсы производителей(А1-А3) и потребности потребителей (B1-B5)при этом должна быть перевезена вся произведенная продукция и должны быть удовлетворены все потребители. Проверим на корректность задачу – сумма произведенной продукции должна быть равна сумме требуемой:

120+60+70 = 40+60+20+80+50

250 = 250

Задача корректна.

Обозначим каждую искомую величину за X_ij, получится таблица:

Выявляются ограничения (требования):

X11+x12+x13+x14+x15=120

X21+x22+x23+x24+x25=60

X31+x32+x33+x34+x35=70

X11+x21+x31=40

X12+x22+x32=60

X13+x23+x33=20

X14+x24+x34=80

X15+x25+x35=50

1. Цель задачи состоит в нахождении оптимального плана, то есть нахождение значений перевезенной продукции от каждого производителя до каждого потребителя с суммарной наименьшей затратностью C:

То есть целевая функция выглядит так:

Исходный план выглядит так:

Где

Заполним план методом северо-западного угла.

Шаг1. Самая северо-западная незанятая ячейка это X₁₁. По данному методу можно раскидывать первоначально как ресурсы, так и удовлетворять потребности; что первично? – я решаю сначала удовлетворять потребности. Удовлетворим полностью потребность B1 ресурсами из поставщика A1:

Требования B1 обнуляются, а ресурс А1 уменьшается с 120 до 80, поскольку 40 ед. увезли в B1. Значения X₂₁ X₃₁ обнуляем, поскольку определили все требования B1 были удовлетворены переменной X₁₁. Таблица после первого шага имеет вид:

Шаг2. Самая северо-западная незанятная ячейка это X₁₂. Удовлетворяем все потребности B2:

Потребность B2 удовлетворена и обнулена, ресурс А1 равный 80 ед. израсходует 60 ед и останется А1 = 20 ед. Значения X₂₂ X₃₂ обнуляем, поскольку определили все требования B1 были удовлетворены переменной X₁₁. По результату второго шага план имеет вид:

Шаг3. Самая северо-западная незанятая ячейка это X₁₄. Удовлетворяем потребности B3:

Потребность B3 удовлетворена и обнулена значением X₁₃ полностью. Значения X₂₃ и X₃₃ обнулены, поскольку уже не требуется ресурса для B3. Ресурс А1 исчерпан, поэтому значения X₁₄ и X₁₅ обнуляем. Таблица после третьего шага имеет вид:

Шаг4. Самая северо-западная незанятая ячейка это X₂₄. Удовлетворяем потребности B3: нам не хватит ресурсов из А2 (60 ед) для удовлетворения B3 (80шт), поэтому возьмем все с ресурса А2 (60 ед.) и 20 ед. из А3:

Потребность B4 удовлетворена, Поставщик А2 истощён, поставщик А3 имеет на 20 ед. ресурсов меньше. После выполнения четвертого шага таблица имеет вид:

Шаг5. Самая северо-западная незанятая ячейка это X₃₅. Удовлетворяем потребности B5 остатками с поставщика A3:

Потребность B5 удовлетворена, поставщик A3 истощен. Все потребности удовлетворены, все поставщики истощены. Задача решена.

Вычислим получившиеся затраты по данному плану:

ед