Конкретизация задачи синтеза. Выбор критериев близости

После того как определена структурная схема фильтра ПАВ, выбраны типы используемых преобразователей и модели, описы­вающие работу последних, следующим этапом проектирования является синтез ВШП по заданным характеристикам и установлен­ным критериям близости.

В настоящей главе рассматриваются методы синтеза эквидис­тантных аподизованных ВШП по характеристическим параметрам, определяемым только структурой преобразователей. Синтез по ра­бочим параметрам с учетом нагрузок, отражений, эффектов второ­го порядка и т. д. описывается в следующих главах.

Как уже указывалось, требования к характеристикам фильт­ров обычно задаются в частотной области. Считается, что фильтр минимально-фазового типа определен в частотной области, если задана его передаточная функция . Для фильт­ра неминимально-фазового типа необходимо дополнительное ука­зание на связь АЧХ и ФЧХ. При этом характеристики задаются на интервале 2p F, ограниченном обычно частотами 0£ w£ w_s/2.

При синтезе ВШП и фильтров ПАВ по требуемым характерис­тикам возникают два типа задач. В задачах первого типа необхо­димо, чтобы ВШП имел АЧХ, близкую к заданной функции, т. е.

(3.1)

для 0£ w£ w_s/2 требования к ФЧХ опускаются.

В задачах второго типа требуется определить реализуемую пе­редаточную функцию ВШП H (iw) так, чтобы одновременно выпол­нялись приближенные равенства для АЧХ и ФЧХ (без учета ли­нейного члена последней)

(3.2)

(3.3)

при 0£ w£ w_s/2.

Последовательность коэффициентов а_п импульсной характерис­тики фильтра можно выразить в виде суммы двух последователь­ностей коэффициентов a _п с четной симметрией и b _n с нечетной симметрией. Например, когда общее число A коэффициентов а_п четное, т. е. A= 2 N, то

a_n =a _n +b _n для n =0, 1, 2, …, N -1

и

a_n =a _n +b _n для n = N,..., А— 1 при m = A —1— п.

В результате подстановки этих соотношений в выражение для передаточной функции ВШП получаем

Аналогично можно получить уравнение передаточной функции при нечетном A =2 N+ 1 (см. табл. 2.5). Для передаточной функ­ции произвольного вида экспоненциальный множитель определяет линейный член ФЧХ, а выражение в фигурных скобках — наложен­ную девиацию фазы Dq_и(w). Таким образом, наклон ФЧХ зависит от числа электродов ВШП, а ее нелинейный член — от коэффициен­тов импульсной характеристики, т. е. взвешивания электродов.

В общем случае АЧХ преобразователя представляет собой нели­нейную функцию частоты

(3.4)

поэтому непосредственная аппроксимация заданной передаточной функции H ₃(i w) выражением (3.4) приводит к сложной задаче не­линейного программирования.

Чтобы прийти к решению линейной задачи, необходимо от за­данных амплитудно-частотной A ₃(w) и фазочастотной q₃(w) харак­теристик перейти к действительной и мнимой частям передаточ­ной функции

R ₃(w)= A ₃(w)cosq₃(w) и I ₃(w)= A ₃(w)sinq₃(w). (3.5)

Тогда для выполнения приближенного равенства необходимо потребовать выполне­ния новых приближений

и (3.6)

при 0£ w£ w_s/2,

где

и

(3.7)

Аппроксимационные задачи, следующие из (3.6), линейны, по­скольку R (w) и I (w) линейно зависят от неизвестных коэффици­ентов a_n.

Поскольку аппроксимация действительной R (w) и мнимой iI (w) функциями производится отдельно, то с точки зрения ап­проксимации задачи синтеза первого и второго типа идентичны. Поэтому в дальнейшем будет рассматриваться более общая зада­ча второго типа.

Для определения четной и нечетной частей синфазной и орто­гональной составляющих дискретизированной импульсной харак­теристики, описанной комплексными коэффициентами а_п, необходимо разложить R (w) и I (w) на сумму четной и нечетной отно­сительно w_ср или W=0 частей, например R (W)= R _чт(W)+ R _нч(W),

где и [55], и найти коэффициенты a _n и b _n соответствующих этим частям импульсных характеристик фильтров нижних частот из соотноше­ний, приведенных в табл. 2.5. Схема нахождения этих коэффици­ентов описана в § 1.3, 1.4 и иллюстрируется на рис. 1.3, 1.4.

Методы решения сформулированных аппроксимационных за­дач определяются принятым критерием близости заданных и реа­лизуемых характеристик. Для фильтров величина и точные грани­цы отклонения реализуемой функции R (w) или I (w) важнее, чем средняя ошибка, поэтому при их проектировании необходимо ис­пользовать чебышевский критерий близости [21], согласно которо­му обеспечивается равномерное приближение реализуемой функ­ции к заданной R ₃(w) или I ₃(w), т. е. когда

(3.8)

где E ₁(w) и E ₂(w)—заданные функции ошибки аппроксимации.

Если же специфичные особенности задач таковы, что на одних участках интервала 2p F допускаются значительные отличия функ­ций R ₃(w) и R (w) или I ₃(w) и I (w), а на других участках эти от­личия должны быть малы, то можно следующим образом сформу­лировать линейную задачу взвешенной чебышевской аппроксима­ции: требуется определить коэффициенты a _о, а ₁ ,..., a_{A -1} (A —за­данное число) так, чтобы минимизировать максимальную ошибку E (w), т. е.

(3.9)

где W _o(w) — весовая функция ошибки.

Иногда при расчете фильтров используется и квадратический критерий близости [21], согласно которому минимизируется среднеквадратическая ошибка E _cp(w). Этот критерий часто использу­ется при синтезе фильтров для весовой обработки импульсных сиг­налов, когда важно минимизировать потери энергии на обработку, а искажение формы импульса не играет большой роли.

Задача синтеза фильтров ПАВ с использованием как чебышевского, так и квадратического критерия в строгой постановке прак­тически не решена. Наиболее близкими к синтезу являются метод расчета с аппроксимацией треугольными функциями, метод «стро­ительных блоков» и итерационный метод [3, 4].