Ступени случайности

Итак, явления, которые можно всерьез описать с помощью понятия " вероятность", далеко не самые хаотические: они обладают очень жестким инвариантом – устойчивостью частот. Возможно, что они – не самые распространенные в природе. Попробуем выстроить случайные явления в порядке смягчения той детерминизации, какая используется при их описании.

Ступень 0. Детерминированный акт, в котором никакой случайности нет (для данного исследователя с его теоретическими установками, знаниями, инструментарием и целями). Эту ступень приходится включать в классификацию потому, что грань случайного и детерминированного субъективна. Пример: на вопрос " каков десятый знак числа пи? " один, тот, кто знает, ответит " 3", другой – " не знаю", и оба ответа будут детерминированными; однако тот, кто не знает и не может узнать, но заинтересован в даче верного ответа, может сказать наугад.

Ступень 1. Явление, состоящее из детерминированных и стохастических компонент. Наглядный пример – стрельба в цель: выбор цели и акт прицеливания неслучайны, но всегда возникает случайный разброс попаданий. У греков (сближавших случайность с судьбой и не знавших вероятности в нашем смысле) для этого процесса существовали слова стохазомай (целиться, догадываться, отгадывать) и стохастикос (меткий, догадливый); однако в данной книге слово " стохастический" является синонимом слова " вероятностный". Следует различать варианты:

1а: случайная компонента имеет вероятность. Такова стрельба, но есть гораздо более яркие примеры – те, что демонстрируют организующую роль случайности систем, в общем-то детерминированных – например, детерминированный автомат в случайной среде (см. ниже, п. 5). Более новый пример – планетные кольца; организующую роль в них играют частицы-странники – см. далее, п. 9-1.

1б: игра идеальных игроков. Поведение каждого определяется набором вероятностей, составляющим его оптимальную стратегию; но вычисление самих этих вероятностей производится каждым игроком детерминированно, согласно принципу минимакса — см., например, [Льюс, Райфа, 1961].

Ступень 2. Вероятностное явление – то, которое в процессе повторения однотипных ситуаций встречается с устойчивой частотой. Ему (и случайным процессам) почти целиком посвящена мировая литература о случайности. Варианты:

2а: псевдослучайные явления (детерминированный хаос). Такова, например, последовательность знаков иррационального числа;

2б: подлинная (имманентная объекту) случайность. Таковы неконструктивное число (число, для вычисления которого в принципе нет алгоритма) и радиоактивный распад (в общепринятой трактовке; точнее см. ниже, п. 6).

Ступень 3. Явление, демонстрирующее устойчивую частоту, которая, однако, на поверку оказывается состоящей из отдельных компонент, укладывающихся в интегральную ЦПТ, но обладающих своим локальным поведением, радикально отличным от нормального в широком смысле (таков, например, эффект Шноля, см. ниже, а также п. 7-5.1). Возможно, что такова и основная масса вероятностных явлений.

Ступень 4. Явление, не имеющее устойчивой частоты, но выражающееся через переходные вероятности случайного процесса. Таково случайное блуждание.

Ступень 5. Явление, не имеющее устойчивой частоты, но входящее в коллектив явлений, допускающий описание с помощью распределения вероятностей-мер. До утверждения четвертой ПМ почти нацело выпадало из сферы внимания ученых, хотя математический аппарат для него давно описан: теория негауссовых устойчивых распределений. (Негауссовы распределения легко выявляются по медленному убыванию – " толстым хвостам"; для них накопление статистических данных вообще не повышает точности знания, если мат. ожидание бесконечно.) Сюда относятся:

5а: случайность простых негауссовых систем, например – одномерный фрактал;

5б: случайность сложных негауссовых систем (таковы многомерные фракталы);

5в: явление, описываемое теорией устойчивых распределений, но не обнаруживающее связи с системностью (таковы распределение Кошии распределение Хольцмарка).

Ступень 6. Случайное явление, не выражаемое распределением вероятностей, но допускающее измерение частот. То есть имеется случайность, обладающая вероятностью-частотой, но нет достаточных оснований для введения вероятности-меры. Такая ситуация возникает всякий раз, когда частота извлекается из массового материала обработки актов свободного выбора. Например, если рассматривать литературный текст как последовательность таких актов, то феномен квази-гиперболического распределения частот слов выступит как факт отсутствия вероятностей у подобных частот (см. п. 9-5), поскольку меру саму по себе тут никто еще не предложил, да и вряд ли это возможно.

Ступень 7. Случайное явление, не выражаемое ни распределением вероятностей, ни частотами, но всё же допускающее какую-то детерминизацию. Примеры:

7а: Произвольный выбор с предпочтением (оно и является тут инвариантом). Так, привычная фраза " он на 90% уверен, что она примет его предложение" звучит статистически, но статистики в ней нет (" он" вовсе не собирается сто раз повторять предложение), и проценты (или шансы) означают не вероятность, а степень предпочтения, в которой выражено отношение " его" к " ее" произвольному выбору;

7б: игра реальных игроков. Включает произвольный выбор (как с предпочтением, так и без него). Инвариантом служат (кроме предпочтений) правила игры.

Ступень 8. Истинный хаос, не допускающий детерминизации. Примеры:

8а: бесконечномерный (см. п. 3.1 этой главы) фрактал со случайными точками ветвления, излома или разрыва. Хотя и возможна предельная структура такого фрактала (т.е. инвариант), но приведенный пример рассматривал попросту нечто более хаотичное, чем любой фрактал.

8б: Произвольный выбор без предпочтений. Так, если мы обратимся к совсем незнакомым людям с предложением: " Скажите что-нибудь", то можем ожидать чего угодно (например, ругани), и предпочтение (или частоту) можем оценить (как до опыта, так и после) разве что для молчания, поскольку не задан алфавит, из которого могут выбираться возможные ответы.