Поняття мішаного добутку трьох векторів. Властивості. Застосування до розв’язування задач.

1. Розглянемо на площині або в просторі два довільні вектори та . Нехай .

Кутом між векторами та назвемо кут між променями та . Причому з двох кутів, які при цьому утворюються, вибиратимемо той, який не перевищує , тобто (рис. 1).

Означення 1.Скалярним добутком векторів та називають число .

Позначатимемо скалярний добуток символом або . Отже, згідно з означенням, = .

Розглянемо деякі властивості цієї операції.

Властивість 1. (комутативність скалярного множення).

Властивість 2. .

Властивість 3. , звідки (вираз називають скалярним квадратом вектора ).

Доведення властивостей 1 – 3 безпосередньо випливають із означення скалярного добутку.

Два вектори домовимось називати ортогональними та записувати ^ , якщо вони утворюють кут .

Властивість 4. Два ненульові вектори ортогональні тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток рівний нулю.

Для доведення скористаємось рівністю = . Якщо , то , тому . Якщо , то , отже, =0.

Властивість 5. Якщо > 0, то кут між векторами та гострий. Якщо < 0, то кут між векторами тупий.

Доведення даної властивості випливає із означення скалярного добутку та властивостей функції . Вірне також обернене твердження.

Число називають проекцією вектора на вектор та позначають (рис. 2). Тобто = .

Властивість 6. = .

Доведення властивості 6 випливає із означення скалярного добутку.

Знайдемо співвідношення для обчислення скалярного добутку у випадку, коли вектори та задані своїми координатами. Розглянемо вектори . Вважаючи їх не колінеарними, розглянемо трикутник такий, що . За теоремою косинусів , де - кут між сторонами та . Оскільки і , то, використавши формулу, яка виражає довжину вектора через його координати, дістаємо

,

звідки

. (1)

Покажемо, що співвідношення (1) вірне також у випадку колінеарності векторів.

Нехай вектори та колінеарні та виконується векторна рівність . Запишемо її у координатній формі у виді рівностей , , .

При кут між векторами та рівний 0, тому

= + + = .

При кут між векторами та рівний , тому

= + + = ,

тобто рівність (1) виконується для довільних векторів та . Використаємо рівність (1) для доведення інших властивостей скалярного добутку.

Властивість 7. (дистрибутивність скалярного множення).

Для доведення властивості 7 припустимо, що вектор задано у виді . Тоді . Із рівності (1) дістаємо

.

Властивість 8. для довільного числового множника .

Доведення даної властивості пропонуємо виконати самостійно.

Наступні властивості фактично повторюють деякі із попередніх, тільки подаються у координатній формі. Ми пропонуємо їх без доведення.

Властивість 9. Вектори та ортогональні тоді і тільки тоді, коли виконується рівність

.

Якщо , то кут між векторами та гострий (тупий). Вірне також обернене твердження.

Кут між векторами та можна обчислити, користуючись співвідношенням

. (2)

Властивість 10. Проекція вектора на вектор обчислюється за формулою

. (3)

Зауважимо, що розглянуті властивості та одержані співвідношення мають місце також у випадку, коли кожний із векторів задається двома координатами. Зокрема, якщо задані вектори , то

, , _.

Розглянемо приклади задач, при розв’язуванні яких використовується операція скалярного множення.

Задача 1. У прямокутному трикутнику з катетами та обчислити кут між медіаною, проведеною до гіпотенузи, та бісектрисою прямого кута.

Розв’язання. Нехай у прямокутному трикутнику - медіана, проведена до гіпотенузи. Зафіксуємо ортонормований базис , вибравши вектор на промені та вектор на промені . Тоді, оскільки , то . Виберемо один із векторів, які задають напрям бісектриси прямого кута, наприклад, вектор . Скориставшись формулою (1), дістаємо .

Відповідь. .

Задача 2. Знайти ортогональну проекцію відрізка з кінцями у точках на пряму, що проходить через точки .

Розв’язання. Розглянемо вектори та і позначимо довжину шуканої проекції через . Скориставшись рівністю (3), дістаємо

.

Відповідь. .

Задача 3. Обчислити кут між мимобіжними діагоналлю куба та діагоналлю його бічної грані.

Розв’язання. Нехай - заданий куб. Знайдемо кут між його діагоналлю та діагоналлю бічної грані . Для цього введемо в розгляд прямокутну декартову систему координат, вибравши точку початком координат, а промені вибравши за додатні напрямки осей відповідно та . Нехай ребро куба рівне 1. Тоді дістаємо , , , , звідки . Якщо шуканий кут позначити через , то .

Відповідь. .

Задача 4. (Теорема Стюарта). Сторони трикутника рівні та .Обчислити довжину відрізка, який сполучає вершину трикутника із точкою, вибраною на стороні , знаючи, що ця точка ділить сторону на відрізки з довжинами та .

Розв’язання. Нехай у трикутнику , , , - шуканий відрізок (рис. 3). Очевидно, що . Тоді

, ,

звідки

, .

Помноживши першу з одержаних рівностей на , а другу – на та додавши одержані співвідношення, дістаємо

,

оскільки вираз рівний , як сума двох векторів із однаковими довжинами та протилежними напрямками. Рівність

виражає зміст теореми Стюарта та дає відповідь на поставлену задачу.

2. Нехай у просторі задано два вектори та . Використовуючи дані вектори, знайдемо третій вектор, який задовольняє певним умовам – так званий векторний добуток векторів та . Оскільки нам доведеться користуватись поняттям однакової орієнтованості двох трійок векторів, то введемо наступне означення.

Означення 2. Нехай задано впорядковану трійку не компланарних векторів , відкладених із спільного початку. Із кінця третього вектора розглядається поворот першого з них до суміщення з напрямком другого вектора найкоротшим шляхом (тобто на кут, який не перевищує ). Якщо цей поворот здійснюється за годинниковою стрілкою, то кажуть, що це вліво орієнтована трійка векторів, а коли проти – вправо орієнтована трійка. На рисунку 4_а зображена вліво орієнтована, а на рисунку 4_б – вправо орієнтована трійка векторів .

Означення 3. Дві впорядковані трійки векторів та називаються однаково орієнтованими, якщо вони одночасно вправо або вліво орієнтовані.

Означення 4. Вектор називається векторним добутком векторів та , якщо він задовольняє наступним умовам:

1) вектор ортогональний до кожного із векторів та ;

2) , де - кут між векторами та ;

3) трійки векторів та однаково орієнтовані (рис. 5).

Векторний добуток векторів та позначають символом або .

Безпосередньо із означення випливають наступні властивості векторного множення.

Властивість 1. (антикомутативність векторного множення).

Властивість 2. Довжина вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах та .

Властивість 3. Векторний добуток двох ненульових векторів рівний нульовому вектору тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Доведення властивості 1 фактично випливає з третьої умови означення, оскільки перші дві умови виконуються одночасно для векторів та . При перестановці у векторному добутку двох множників поворот першого з них до суміщення з напрямком другого вектора найкоротшим шляхом здійснюється в протилежному напрямку. Оскільки вектори та колінеарні (обидва одночасно перпендикулярні до векторів та ), мають однакові довжини та протилежно напрямлені, то = .

Властивість 2 випливає із формули, яка виражає площу паралелограма через дві сторони та кут між ними та відома читачам із шкільного курсу геометрії.

Щоб довести властивість 3 зауважимо, що якщо вектори та колінеарні, то кут між ними дорівнює 0 або . В обох випадках, оскільки , то . Навпаки, якщо = , то , оскільки . Тому вектори та колінеарні.

Властивість 4. Для векторів ортонормованого базису виконуються наступні рівності:

, , , .

Для формулювання та доведення інших властивостей векторного добутку виведемо співвідношення, яке дозволяє знаходити координати вектора через координати векторів та .

Нехай у базисі вектори та задані своїми координатами: , . Вважатимемо, що = . Згідно з умовою 1) означення маємо ^ та ^ , тому та . Одержані рівності запишемо у виді системи

,

розв’язуючи яку, дістаємо , , , де - довільне дійсне число. Для відшукання значення використаємо другу умову означення:

=

=

= . (5)

З іншого боку

. (6)

Легко перевірити, що підкореневі вирази у записах (5) та (6) рівні, тому , звідки . Щоб вибрати з двох одержаних значень потрібне, використаємо відомий з курсу лінійної алгебри факт, що визначник матриці переходу від одного базису до іншого відмінний від нуля. При цьому базиси будуть однаково орієнтовані тоді і тільки тоді, коли визначник додатний. Вважатимемо, що вектори та не колінеарні, тому трійка векторів та утворює базис (у випадку, коли вектори та колінеарні, , тому необхідність визначення знаку числа відпадає). Знайшовши визначник матриці, складеної із координат векторів та , а та вимагаючи, щоб він був додатним, дістаємо

.

Звідси випливає, що число додатне, тому . Таким чином,

(, , ).

Для одержаного вектора часто вибирають іншу, більш зручну для запам’ятання форму запису у виді визначника

. (7)

У цьому випадку координати вектора обчислюють, як алгебраїчні доповнення до елементів першого рядка.

Перейдемо до вивчення інших властивостей та застосувань векторного добутку.

Властивість 5. .

Властивість 6. (дистрибутивність векторного множення).

Доведення властивостей 5 та 6 випливає із відомих властивостей визначників.

Властивість 7. Площа трикутника, вершини якого розташовані у точках , , , обчислюється за формулою

. (8)

Справді, оскільки площа паралелограма, побудованого на векторах та , дорівнює і

, ,

то, скориставшись рівністю (7), дістаємо

= .

Наслідок. Якщо вершини трикутника знаходяться у точках , , , то площу трикутника можна обчислити за формулою

.

Для доведення розглянемо точки , , у тримірній системі координат. Скориставшись рівністю (8), дістаємо

= ,

що і потрібно було довести.

Розглянемо приклади деяких задач.

Задача 5. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах та , знаючи, що , а кут між векторами та дорівнює .

Розв’язання. Використавши доведені властивості 2, 5, 6, дістаємо

.

Тоді

= .

Відповідь. 66.

Задача 6. Обчислити відстань від початку координат до прямої, яка проходить через точки .

Розв’язання. Шукану відстань знайдемо як висоту трикутника , опущену із вершини . Для цього спочатку обчислимо площу трикутника . Використовуючи співвідношення (7), дістаємо

= = .

Тепер, оскільки , то .

Відповідь. .

Задача 7. У трикутній піраміді перпендикулярно до кожної грані назовні відносно піраміди проведено вектори, довжина кожного з яких дорівнює площі відповідної грані. Обчислити їхню суму.

Розв’язання. Нехай - задана піраміда, , а також - вектори, які задовольняють умову задачі та проведені до граней відповідно (рис. 6). Обчислимо вектори, як половини векторних добутків векторів, напрямлених по ребрах піраміди. Орієнтацію трійок векторів вибираємо праву. Дістаємо

, ,

.

Легко перевірити, що сума знайдених векторів дорівнює .

Відповідь. .

3. Розглянемо три довільні вектори та з векторного простору та введемо означення ще одної операції над векторами – так званий мішаний добуток.

Означення 5.Мішаним добутком векторів та називається скалярний добуток вектора на вектор, який є векторним добутком векторів та .

Позначатимемо мішаний добуток векторів та символом . Отже, згідно з означенням, . Зауважимо, що мішаний добуток векторів та є число. Дослідимо властивості введеної нами нової операції. Для цього спочатку знайдемо співвідношення, яке виражає мішаний добуток через координати векторів.

Нехай відомо, що , , . Тоді, оскільки

,

то

.

Одержаний результат зручно записувати у вигляді визначника . Отже,

(9)

Циклічною перестановкою (перестановкою по колу) скінченої впорядкованої множини елементів називають перестановку, коли кожний елемент займає місце наступного, а останній – першого, або навпаки: кожний елемент займає місце попереднього, а перший–останнього.

Властивість 1. Циклічна перестановка не змінює величини мішаного добутку, тобто виконуються рівності .

Властивість 2. , де - довільне число.

Властивість 3. + .

Доведення перерахованих властивостей випливає із властивостей визначників. Зокрема, у першому випадку доводиться двічі міняти місцями рядки визначника, що не змінює його величини. У другому випадку із одного з рядків перед знак визначника виноситься сталий множник , на який множиться кожна координата вектора. У третьому випадку перший рядок визначника є сумою двох рядків, що дозволяє записати цей визначник у вигляді суми двох визначників, у кожному з яких ці рядки записані окремо.

Зауважимо, що з рівності випливає, що мішаним добутком векторів та можна назвати також скалярний добуток векторного добутку перших двох векторів та на третій вектор .

Властивість 4. Об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах та , дорівнює модулю мішаного добутку цих векторів.

Доведення. Згідно з означеннями мішаного та скалярного добутків дістаємо

,

де - кут між векторами та (рис. 7).

Оскільки число виражає площу паралелограма, побудованого на векторах та , а добуток рівний висоті паралелепіпеда , якщо кут гострий та , якщо - тупий, то об’єм паралелепіпеда .

Наслідок 1. Три вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли їхній мішаний добуток рівний нулю.

Справді, якщо три вектори компланарні, то , отже, . Навпаки, якщо , то , тому і вектор , будучи перпендикулярним до вектора , буде паралельним до площини векторів та , тобто дані три вектори компланарні.

Наслідок 2. Три вектори , , лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли виконується умова .

Зауважимо, що наслідок 2 можна використовувати у тих випадках, коли потрібно довести, що вектори та утворюють базис простору . Для цього достатньо показати, що виконується умова .

Наслідок 3. Нехай вершини трикутної піраміди розташовані у точках. . Тоді її об’єм можна обчислити за формулою

.

Доведення цього твердження випливає з того, що об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , та , як на ребрах, дорівнює

,

а об’єм піраміди становить від нього частину (рис. 8).

Наведемо приклади розв’язання окремих задач.

Задача 8. Обчислити об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , якщо об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах та , дорівнює 5.

Розв’язання. Використавши властивості 2, 3 та 4, дістаємо

. Тому . Зауважимо, що в процесі обчислень були опущені деякі доданки, оскільки вони являють собою мішані добутки компланарних векторів і рівні нулю.

Відповідь. 5.

Задача 9. Вивести формулу для обчислення висоти трикутної піраміди, побудованої на векторах та . Вважається, що висота проведена з вершини, яка є спільним початком заданих векторів.

Розв’язання. З шкільного курсу геометрії відомо, що , де - об’єм піраміди, а - площа її основи. З попереднього . Для обчислення площі основи візьмемо два вектори, які напрямлені по сторонах трикутника, який лежить в основі, нехай і , та скористаємось векторним добутком. Маємо

.

Підставляючи одержані значення та у формулу для обчислення висоти, дістаємо шуканий результат.

Відповідь. .

Задача 10. По двох мимобіжних прямих ковзають два відрізки сталої довжини. Як змінюється об’єм трикутної піраміди, яка утворюється після сполучення кінців відрізка?

Розв’язання. Нехай заданими відрізками є відрізки та , які після переміщення переходять у рівні відрізки та . Введемо векторні позначення: , . Тоді об’єм піраміди буде , а об’єм піраміди - . Оскільки (тут та - деякі числові коефіцієнти), то

.

Отже, об’єм піраміди не змінюється.