Розв´язок

Завдання 2.21

Чи колінеарні вектори с1 і с2, побудовані за вектором а і в?

а = {3, 7, 0}

в = {4, 6, -1}

с1= 3а+2в

с2= 5а-7в

Розв´ язок

Вектори колінеарні якщо існує таке число ƴ таке, щоб с1= ƴ · с2

Тобто вектори колінеарні, якщо їх координати пропорціональні.

С1 = 5а+2в = {3· 3 + 2 · 4; 3 · 7 + 2· 6; 3 · 0 + 2 ·(-1) } = { 17, 33, -2}

С2 = 5а – 7в = {5 ·3 – 7· 4; 5· 7 – 7· 6; 5 ·0 – 7 ·(-1)} = {-13, -7, 7}

Висновок:

Отже, вектори с1 і с2 – не колінеарні.

Задача 3. Знайти косинус кута між векторами і .

Розв´ язок

Знайдемо координати вектора = (Хв-Ха; Ув-Уа; Zв-Zа) = (7-7; 1-0; 3-2) = (0; 1; 1)

= (Хс-Ха; Ус-Уа; Zс-Zа) = (8-7; -1-0; 2-2) = (1; -1; 0)

За формулою косинуса угла між векторами

= = = -

ɤ =

Задача 4. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах та .

Розв´ язок

S паралелограма, побудована на векторах а і в, дорівнює модулю її векторної проекції.

S =

= (6p-q) (p 2q)= 6 · p p + 6 ·2 p q – q p-2 ·q q = 12· p ·q - q p =12 p q +1 ·p q = (12+1) ·p q = 13· p q

Визначаємо площу:

S = = = 13 · · = 13· 8 · · = 52 · = 52 · = 26

Тобто площа паралелограма, побудованого на векторах а і в = 26

Задача 5. Чи компланарні вектори , та ?

Розв´ язок

Вектори компленарні, якщо їх мішаний добуток дорівнює нулю.

a b c = 5 3 4

4 3 3 = 120+81+80 · (108 +75 + 96) = 2

9 5 8

Відповідь: Вектори не компленарні.

Задача 7. Знайти відстань від точки до площини, яка проходить через точки .

x-0 y-(-1) z-(-1)

-2-0 3-(-1) 5-(-1) = 0

1-0 -5-(-1) 9-(-1)

x·(-8) – (y+1) ·10+ (z+1) ·4=0

-8x-10y-10+4z+4=0

-8x-10y+4z-6=0

-4x-5y+2z-3=0

Відстань d від точки M0(x0; y0; z0) до Ax+By+Cz+D=0

D=

D= = = =2

Задача 8. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до вектора .

={3, 1.-5}

3(x+3) +1(y-1) -5(z-0)=0

Відповідь: 3x+y-5z+8=0.

Задача 10. Знайти координати точки , равновіддаленої від точек і .