Экзаменационная работа

для проведения государственного выпускного экзамена по математике (первый курс)

Вариант 3.

1. а) В тре­уголь­ни­ке ABC, AC =BC, вы­со­та CH равна 7, AB = 48. Най­ди­те sin A.

б) В тре­уголь­ни­ке АВС, угол С равен 90°, sin A = . Най­ди­те cos A.

в) В тре­уголь­ни­ке АВС, АС = СВ вы­со­та СН равна 12, АВ = 10. Най­ди­те cos A.

г) В АВС, угол С равен 90°, cos A = 0, 1. Най­ди­те синус внеш­не­го угла при вер­ши­не B.

д) Один угол рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка на 93° боль­ше дру­го­го. Най­ди­те мень­ший угол. Ответ дайте в гра­ду­сах

2. а) Цен­траль­ный угол на 38⁰ боль­ше остро­го впи­сан­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу окруж­но­сти. Най­ди­те впи­сан­ный угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

б) В окруж­но­сти с цен­тром О, АС и ВD – диа­мет­ры. Впи­сан­ный угол ACB равен 48⁰. Най­ди­те цен­траль­ный угол AOD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

в) В тре­уголь­ни­ке ABC, BC = 4, угол С равен 90°. Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка равен 2, 5. Най­ди­те AC.

г) Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABD равен 95⁰, угол CAD равен 25⁰. Най­ди­те угол ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

3. а) Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 16, а высота равна 37. Найдите объем параллелепипеда.

б) В куб впи­сан шар ра­ди­у­са 3. Най­ди­те объем куба.

в) Ци­линдр опи­сан около шара. Объем шара равен 56. Най­ди­те объем ци­лин­дра.

г) Конус впи­сан в ци­линдр. Объем ко­ну­са равен 7. Най­ди­те объем ци­лин­дра.

4. а) Площадь основания прямоугольного па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 27, а боковое ребро 22. Най­ди­те объем многогранника D₁ABCD.

б) Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 36. Най­ди­те его объем.

в) В сосуд, име­ю­щий форму цилиндра, на­ли­ли 2600 см³ воды и по­гру­зи­ли в воду де­таль. При этом уро­вень воды под­нял­ся с от­мет­ки 25 см до от­мет­ки 29 см. Най­ди­те объем де­та­ли. Ответ вы­ра­зи­те в см³.

г) В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка O – центр ос­но­ва­ния, S – вер­ши­на, SO = 20, BD = 30. Най­ди­те бо­ко­вое ребро SA.

5. а) Из пунк­та A в пункт B, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 75 км, од­но­вре­мен­но вы­еха­ли ав­то­мо­би­лист и ве­ло­си­пе­дист. Из­вест­но, что за час ав­то­мо­би­лист про­ез­жа­ет на 40 км боль­ше, чем ве­ло­си­пе­дист. Опре­де­ли­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, если из­вест­но, что он при­был в пункт B на 6 часов позже ав­то­мо­би­ли­ста. Ответ дайте в км/ч.

б) Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 80 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 2 часа мень­ше. Най­ди­те ско­рость те­че­ния, если ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде равна 9 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

в) Баржа в 10: 00 вышла из пунк­та А в пункт В, рас­по­ло­жен­ный в 15 км от А. Про­быв в пунк­те В 1 час 15 минут, баржа от­пра­ви­лась назад и вер­ну­лась в пункт А в 14: 00. Опре­де­ли­те ско­рость те­че­ния реки, если из­вест­но, что соб­ствен­ная ско­рость баржи равна 11км/ч.

г) В 2008 году в го­род­ском квар­та­ле про­жи­ва­ло 46000 че­ло­век. В 2009 году, в ре­зуль­та­те стро­и­тель­ства новых домов, число жи­те­лей вы­рос­ло на 4%, а в 2010 году на 8% по срав­не­нию с 2009 годом. Сколь­ко че­ло­век стало про­жи­вать в квар­та­ле в 2010 году?

д) Один ма­стер может вы­пол­нить заказ за 24 часов, а дру­гой — за 12 часов. За сколь­ко часов вы­пол­нят заказ оба ма­сте­ра, ра­бо­тая вме­сте?