![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Зображення згортки
Нехай маємо дві функції Якщо Властивість згортки Якщо оригінали Таблиця зображень і оригіналів Використовуючи перетворення Лапласа, а також властивості зображень, складаємо таблицю (7.1)
Таблиця 7.1 – оригінали і відповідні їм зображення
продовження таблиці 7.1
продовження таблиці 7.1
7.3 Схема побудови розв’язку диференційного рівняння з частинними похідними Наведемо схему побудови розв’язку диференційного рів-няння з частинними похідними, де шукана функція
де П.У. Г.У.
де Задача (7.2) – (7.3) нестаціонарна, оскільки шуканий роз-в’язок істотно залежить від початкових умов і описує так званий неусталений перехідний режим фізичного процесу. Застосуємо перетворення Лапласа до функції
Тут Для знаходження зображень частинних похідних по
Вважатимемо, що
де Таким чином, операційний метод приводить розв’язок поставленої нестаціонарної задачі (7.2)–(7.3) до розв’язку звичайного диференційного рівняння другого порядку
з граничними умовами (7.4), де
Приклад 7.1 Кінці струни
яке задовольняє задані додаткові умови П.У. Застосуємо перетворення Лапласа до функції
Підставивши отримані формули у вихідне рівняння та задовольнивши граничні умови одержимо у просторі зображень наступну задачу
Г.У.
Розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку шукаємо у вигляді:
де Характеристичне рівняння
Тоді загальний розв’язок однорідного рівняння буде
Частинний розв’язок неоднорідного рівняння Для знаходження невідомої сталої
Звідси
Тоді
Загальний розв’язок рівняння буде мати вигляд:
Підставляючи розв’язок у граничні умови, знайдемо невідомі константи
Отже, оригіналом для
буде функція
яка є розв’язком поставленої задачі.
Приклад 7.2 Знайти розв’язок рівняння теплопровідності
П.У.
Застосуємо перетворення Лапласа до функції
. Вихідне рівняння після підстановки отриманих формул та граничні умови у просторі зображень набуде вигляду
Г.У.
Розв’язок отриманого лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку шукатимемо у вигляді:
де
характеристичне рівняння:
Звідси
Тоді загальний розв’язок однорідного рівняння буде
Частинний розв’язок неоднорідного рівняння
Для знаходження невідомої сталої
Звідси
Тоді,
Загальний розв’язок рівняння буде мати вигляд:
Підставляючи розв’язок у граничні умови, знайдемо невідомі константи
Отже, оригіналом для
буде функція
яка і буде розв’язком поставленої задачі.
|