Модель Брауна

Рассмотрим адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. Прежде всего, упростим задачу – предположим, что перед прогнозистом стоит задача изучить некоторый временной ряд Yt, не имеющий какой-либо явно выраженной тенденции, и сделать прогноз в конце ряда на один шаг наблюдения Yt+1.

В этом случае ему проще всего воспользоваться в качестве прогнозной модели простой средней арифметической:

Эта средняя арифметическая характеризует средний уровень ряда, отклонения от которого вызваны рядом причин. В случае стационарного процесса, да ещё при нормальном распределении вероятностей эта процедура не вызывает никаких сомнений и возражений. Но средняя арифметическая, как известно, является наилучшей оценкой математического ожидания процесса только в том случае, когда прогнозируемый процесс является стационарным с нормальным распределением вероятностей. Если эти условия не выполняются, то средняя арифметическая не будет лучшей прогнозной моделью.

Для эволюционных процессов текущие отклонения являются более важными для понимания происходящих процессов, чем прошлые. Тем более - текущие значения являются более важными для прогноза, чем прошлые наблюдения. Например, для того, чтобы определить на завтра курс рубля по отношению к евро, текущие значения этого курса важнее, чем значения полугодовалой давности.

Если представить в расширенном виде, то получим:

Или:

Здесь vt – вес t-го наблюдения, причём легко убедиться в том, что:

Естественное желание учесть текущую информацию в большей степени, чем прошлую, может быть математически выражено так:

Если при этом потребовать выполнения условия (2), то, подставляя эти веса в (1), можно получить формулу взвешенной средней арифметической. В математике существует огромное количество рядов, чья сумма будет равна единице, а каждый вес будет убывать с убыванием наблюдений в прошлое, например, ряд:

сходится к единице, то есть его сумма равна единице. В принципе любой сходящийся к некоторому числу ряд можно преобразовать так, чтобы его сумма была равна единице. Например, ряд

Сходится к числу e-1. Поэтому будет равна единице сумма такого ряда:

Так какой ряд из огромного множества имеющихся вариантов предпочесть для случая краткосрочного прогнозирования эволюционных процессов? В каждом случае прогнозируемый процесс своеобразен, и использовать один и тот же способ задания весов будет методологически ошибочным - в каждом отдельном случае наилучшим будет свой способ задания весов взвешенной средней.

Так какой ряд из огромного множества имеющихся вариантов предпочесть для случая краткосрочного прогнозирования эволюционных процессов? В каждом случае прогнозируемый процесс своеобразен, и использовать один и тот же способ задания весов будет методологически ошибочным - в каждом отдельном случае наилучшим будет свой способ задания весов взвешенной средней.

Здесь параметр α является единственной переменной, варьируя которую можно получить модель, пригодную для различных по характеру изменений прогнозируемого процесса. Иногда этот ряд называют экспоненциальным.

С помощью показательно взвешенного ряда весов легко рассчитать среднее взвешенное показателя Y в момент времени Т, которое будет являться прогнозной моделью процесса на следующий момент наблюдения (Т+1). Обозначим это прогнозное значение через .