Мета роботи. Вивчення чисельного і графічного методів аналізу нелінійних резистивних кіл по постійному струму.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №1

АНАЛІЗ НЕЛІНІЙНИХ РЕЗИСТИВНИХ КІЛ ПО ПОСТІЙНОМУ СТРУМУ

МЕТА РОБОТИ

Вивчення чисельного і графічного методів аналізу нелінійних резистивних кіл по постійному струму.

2 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Нелінійне резистивне коло – це коло, що складається з нелінійних і лінійних резисторів, джерел напруги і струму. Математичною моделлю нелінійного резистивного кола є нелінійні алгебраїчні рівняння (НАР). Прямі універсальні методи вирішення НАР відсутні, тому для аналізу нелінійних кіл використовуються наближені ітераційні методи, такі як метод простої ітерації, метод Ньютона і їх модифікації.

Найбільшого поширення при моделюванні нелінійних кіл набув ітераційний метод Ньютона. Метод Ньютона застосовується до нелінійних рівнянь, заданих в неявному вигляді:

. (1.1)

Нехай - рішення рівняння (1.1). Розкладемо (1.1) в ряд Тейлора в точці і обмежимо ряд лінійним членом:

. (1.2)

де .

Проведена операція називається лінеаризацією нелінійної функції.

З (1.2) отримаємо зв'язок точного рішення з наближеним:

. (1.3)

На підставі даного виразу складається формула ітераційного методу Ньютона:

. (1.4)

Для початку обчислень слід задати початкове наближення x₀. Процес вирішення рівняння (1.1) складатиметься з послідовних наближень до рішення , починаючи з x₀:

, , і т.д.

Ітераційний процес закінчують досягши заданої точності ε _доп:

. (1.5)

Швидкість збіжності методу Ньютона квадратична, оскільки зв'язок між похибками на сусідніх ітераціях визначається таким чином:

, (1.6)

де .

Для чисельних розрахунків нелінійних кіл в системі MATHCAD можна скористатися функцією root(f, x₀ ). Ця функція реалізована на основі методу Ньютона, її вхідними параметрами є функція f(x) нелінійного рівняння (1.1) і початкове наближення x₀.

Прості нелінійні кола можуть бути розраховані графічним методом. Наприклад, для кола на рис. 1.1, а математична модель складається з двох рівнянь:

(1.7)

Перше рівняння нелінійне алгебраїчне, воно задане вольт-амперною характеристикою (ВАХ) діода. Друге рівняння лінійне алгебраїчне, воно складене згідно із законом Кірхгофа для напруги і визначає положення прямої навантаження на вольт-амперній характеристиці. Точка перетину прямої навантаження з ВАХ є вирішенням системи рівнянь (1.2) і задає режим кола по постійному струму. Коло на рис. 1.1, б описується двома нелінійними рівняннями, представленими вольт-амперними характеристиками діодів:

(1.8)

а) б)

Рисунок 1.1

Точка перетину графіків ВАХ діодів задає режим цього кола по постійному струму.