Запись с помощью оператора набла дифференциальных операций векторного анализа

1) (u − дифференцируемое скалярное поле).

2)

3)

4) или ; 5) или

6) Оператор Лапласа: или . Если для функции u выполняется равенство , то такая функция называется гармонической.∆

7)

8)

9)

Если c − произвольный постоянный вектор, а a и b − дифференцируемые векторные поля, то

10) ; 11)

12)

13)

14)

15)

Основные правила записи и получения формул векторного анализа с помощью оператора Гамильтона и основных операций векторной алгебры.

1. Оператор действует на все скалярные и векторные поля, стоящие справа от него, и не действует на поля, находящиеся слева от него.

2. Если стоящее справа от оператора выражение представляет собой линейную комбинацию скалярных или векторных полей, то действие оператора равносильно линейной комбинации его действий на каждое из этих полей.

3. Оператор , действующий на произведение скалярных и (или) векторных полей, следует применить, согласно правилу дифференцирования произведения, к каждому сомножителю отдельно, считая остальные постоянными, и результаты сложить, а затем каждое слагаемое, используя правила векторной алгебры, привести к такому виду, чтобы справа от оператора стоял только тот сомножитель (скалярное или векторное поле), который в данном слагаемом принят переменным.