Неоднородность пластов по проницаемости

Наиболее важно для гидродинамических расчетов нефтеотдачи установить закон изменения по объему пласта такого параметра, как проницаемость, построить плотность и функцию распределе­ния проницаемости. При этом возможны два подхода к оценке неоднородности пластов по проницаемости; 1) построение эмпири­ческой ломаной распределения проницаемости и последующего применения этого фактического распределения в гидродинамиче­ских расчетах нефтеотдачи без выражения его в аналитической форме; 2) по имеющейся фактической информации о проницаемости пласта определение аналитической зависимости для плотности и функции ее распределения.

В первом случае имеем преимущество в том, что при известной трудности подбора математической модели для данного распределе­ния можно иногда более объективно отобразить неоднородность пласта по проницаемости и получить более близкую к реальной картину процесса обводнения пласта. Однако по сравнению со вторым подходом здесь имеем и существенные недостатки, заключающиеся в трудностях сопоставления степени неоднород­ности пластов друг с другом, что особенно важно для многопласто­вых месторождений при сравнении неоднородности аналогичных месторождений. Далее, в гидродинамических расчетах процесса разработки приходится выполнять громоздкие расчеты, связанные с численным дифференцированием и интегрированием факти­ческих функций распределения проницаемости. Для построения расчетных схем-моделей неоднородных по проницаемости пластов следует широко использовать методы математической статистики и теории вероятностей. В качестве исходных данных для построения расчетной схемы слоисто-не­однородного по проницаемости пласта можно использовать стати­стический ряд фактических значений проницаемостей, полученных путем лабораторного анализа керна, интерпретации геофи­зических методов исследова­ний, а также гидродинамиче­ских исследований и интер­претации профилей притока и приемистости скважин по мощности пласта.

Для гидродинамических расчетов принимается факти­ческая плотность или функ­ция распределения проница­емости, на основе которой строится слоисто-неоднород­ный по проницаемости пласт. Число прослоев со средней проницаемостью k_i и мощ­ностью hi выделяется по шагу (емкости) интервала функции распределения, причем мощ­ность прослоя принимается пропорциональной числу слу­чаев определения проницае­мости каждого прослоя. Кроме того, можно использовать ту или иную теоретическую функцию распределения, наилучшим образом описывающую фактическое распределение проницаемости.

Наиболее известна статистическая модель — нормальное или гауссово распределение.

Для оценки аналитического закона распределения пара­метров пластов целесообразно использовать методику Г. Хана и С. Шапиро [9] с последующим определением параметров, распределения известными в математической статистике ме­тодами.

На номограмме (рис. IV. 1) показаны области в плоскости ( и ) Для различных распределений: нормального, бета-рас­пределения (частный случай — равномерное распределение), гам­ма-распределения (частный случай — экспоненциальное распре­деление) и логарифмически-нормального.

Здесь — квадрат нормированного показателя асимметрии, а —нормированный показатель островершинности. Для любого нормального распределения и = 3.

Гамма-распределение можно определить для всех значений β ₁ и β ₂; расположено оно вблизи кривой для логарифмически-нор­мального распределения.

Чтобы пользоваться номограммой (см. рис. IV. 1), необходимо знать значения параметров и . Для этого с помощью формул (IV.9)—(IV.11) находят координаты точек, которые затем наносят на номограмму.

Здесь ki — проницаемость в ряду распределения; n_i — частота распределения.

Если точка с координатами и на номограмме будет расположена достаточно близко от точки, кривой или от области одной из названных моделей (гамма-распределение, логарифми­чески-нормальное распределение и т. д.), то по этому распределе­нию можно определить эмпирические данные. Затем можно найти параметры распределения, как это обычно делается по критериям согласия Колмогорова или Пирсона.

Пример. Проиллюстрируем изложенную методику оценки теоретиче­ской функции распределения проницаемости, соответствующей фактическому расп ределению.

Ряд экспериментальных значений проницаемости и последовательность промежуточных вычислений для параметров распределения и приве­дены в табл. IV. 1.

Находим значения условных моментов М₂, М₃, М_г Для этого предва­рительно определяем коэффициенты а _1, а_г,, а₃ и а ₄.

Из номограммы, приведенной на рис. IV.1, следует, что для получен­ных значений и эмпирическое распределение проницаемости может быть с достаточной достоверностью описано теоретически гамма-распределением.

Таблица IV.1

Интервал проницаемости ki мкм	Среднее значение ki мкм	частота ni		kini	ki2ni	ki3ni	ki4ni
0-0, 5	0, 25		-2	-88		-352
0, 5-1, 0	0, 75		-1	-78		-78
1, 0-1, 5	1, 25
1, 5-2, 0	1, 75
2, 0-2, 5	2, 25
2, 5-3, 0	2, 75
3, 0-3, 5	3, 25
3, 5-4, 0	3, 75
4, 0-4, 5	4, 25
4, 5-5, 0	4, 75

Та или иная теоретическая функция с различной степенью достоверности отображает реальный фактический характер рас­пределения проницаемости пластов, что влияет на точность гидродинамических расчетов дебитов жидкости, нефти и нефте­отдачи во времени.

В практике расчетов процесса обводнения неоднородных по проницаемости пластов используют различные функции законы распределения проницаемости: нормальный, логарифмически-нор­мальный, Максвелла, видоизмененные распределения Максвелла, гамма-распределения, обобщенная функция распределения и др. (табл. IV.2). В зависимости от степени неоднородности пластов по проницаемости, метода определения и получения информации о проницаемости фактическое ее распределение описывается тем или иным теоретическим законом.

Наиболее удобный с точки зрения выполнения расчетов обвод­нения логарифмически-нормальный закон распределения. Однако этому закону присущ ряд недостатков, а именно:

1) он не в достаточной степени универсален и при описа­нии фактических неоднородных распределений, имеющих много­вершинный характер, возникает

Закон распределения	Нормальный	Логарифмически-нормальный	Гамма-распределение	Обобщенное распределение [8]
Плотность распределения f(x)
Функция (закон) распределения F(x)
Среднее значение М'
Стандартное отклонение σ (x)
Коэффициент вариации v(x)
Параметр закона
Граница изменения закона
Граница изменения аргумента

необходимость подразделения их па несколько простых, что в значительной мере осложняет последующие расчеты процесса обводнения;

2) при определении параметров этого распределения сред­него значения е и стандартного отклонения о по построениям на логарифмически-нормальной бумаге возможны существенные ошибки из-за элементов субъективизма при обработке фактиче­ских данных.

Гамма-распределение и логарифмически-нормальное распреде­ления описывают наиболее широкий класс эмпирических распре­делений проницаемости, его широко применяют в практике про­ектирования и анализа разработки нефтяных месторождений.

Как правило, фактические сложные распределения проницае­мости нельзя описать одним логарифмически-нормальным рас­пределением с параметрами распределения и . При раз­делении такого сложного распределения на ряд простых, лога­рифмически-нормальных, допускается субъективизм в оценка параметров закона и как следствие существенные погрешности в последующих расчетах процесса обводнения.

Сложное логарифмически-нормальное распределение целесо­образно представлять в виде одного распределения, параметры и которого можно определить из соотношений:

С помощью уравнений (IV. 12) и (IV. 13) можно определить параметры эквивалентного теоретического распределения про­ницаемости, подчиняющегося логарифмически-нормальному за­кону. Использование предлагаемого приема и формул (IV. 12); (IV. 13) позволит избежать процесса условного подразделения сложного неоднородного распределения на ряд однородных со­ставляющих. Кроме того, при обработке исходной информации о проницаемости с помощью диаграммы квантилей существенно сокращается машинное время расчетов обводнения неоднородных пластов на ЭВМ.