Производящие функции

Пусть задана некоторая последовательность . Для этой последовательности определим функциональный ряд, который определим формулой

. (15)

Здесь - некоторый набор функций. Функцию называют производной функцией последовательности .

Часто в качестве функций выбирают функции или . В этом случае производящие функции принимают вид

(16)

Пусть удовлетворяют соотношениям , при .

В этом случае

(17)

Корни знаменателя выражения (17) равны . Функцию разложим на простые множители

. (18)

Из условия совпадения (18) и (17) получаем

,

отсюда следует

.

Выражение (18) перепишем в виде

. (19)

Раскладывая в ряд выражение (19) получаем

(20)

Легко установить, что

,

то есть последовательность чисел совпадает с последовательностью чисел Фибоначчи.

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГРАФОВ.

Основные понятия теории графов.

1. Граф G(V, E) - комбинаторный объект, состоящий из двух конечных множеств: V - называемого множеством вершин и множества пар элементов из V, т.е. , называемого множеством ребер, если пары неупорядочены, и множеством дуг, если пары упорядочены. В первом случае граф G(V, E) называется неориентированным, во втором ориентированным. Если е = (v₁, v₂),

е Е, то говорят, что ребро е соединяет вершины v₁, v₂, если v₁=v₂, то ребро е называется петлей. Две вершины v₁, v₂ называются смежными, если существует соединяющее их ребро. Аналогично, два различных ребра смежны, если они имеют общую вершину.

Степенью вершины v называется число ребер d(v), инцидентных ей, при этом петля учитывается дважды. В случае ориентированного графа различают степень d₀(v) по выходящим дугам и d_i(v) - по входящим.

Путь - это последовательность ребер e₁, е₂,..., e_m, такая, что е_i, е_i+1 имеют общую вершину. Число ребер называется длиной пути. Если ни одна из вершин не появляется более одного раза, то путь называется простым. Ясно, что в простом пути ни одно ребро не используется дважды.

Путь называется циклом, если его начальная вершина совпадает с конечной, простым циклом, если это не выполняется для других вершин.

В случае ориентированного графа, если путь проходит в направлении дуг, он называется ориентированным. Аналогично определяется ориентированный цикл.

Граф называется связным, если для любых двух вершин существует путь, их соединяющий. Ориентированный граф называется сильно связным, если для любых двух вершин существует ориентированный путь, их соединяющий. Для ориентированного графа определяем скелетный граф, как неориентированный граф, полученный снятием ориентации исходного графа.

Примеры графов:

1. Полный граф К_n. Это граф на n вершинах, у которого смежны любые две различные вершины. Ясно, что граф К_n имеет ребер.

2. Граф отображения F: Х X. Это ориентированный граф с множеством вершин X, при этом вершины х_i и х_j соединяются дугой, если х_j= Р(х_i).

3. Двудольные графы. Это графы, у которых множество вершин можно разбить на два множества V₁, и V₂ так что каждое ребро графа соединяет только некоторую вершину из V₁ с некоторой вершиной из V₂.

4. Граф единичного n-мерного куба В_n. Вершины графа - n-мерные двоичные наборы. Ребра соединяют вершины, отличающиеся одной координатой. Факт 1. Любой граф содержит четное число вершин нечетной степени.

Если граф G имеет х_i вершин степени i, то

X₁+2x₂+...+kx_k=2 |Е| (1)

поскольку мы подсчитываем число концевых вершин ребер, а каждое ребро имеет точно две концевые вершины. Отсюда получаем, что x₁+х₃+...+x_2s+1 - четное число. Число ребер в графе существенно влияет на его связность. Заметим, что любой граф можно разбить на связные части - компоненты связности, задав следующее отношение эквивалентности на множестве его вершин: две вершины эквивалентны, если существует путь из одной вершины в другую. Таким образом, связный граф состоит из одной компоненты.

Факт 2. Пусть G - граф с а вершинами и k компонентами. Тогда число m его ребер удовлетворяет неравенствам

(2)

Нижнюю оценку доказывают индукцией по числу ребер в G. Если множество ребер пусто, то утверждение очевидно. Если в графе G число ребер минимально (скажем то), удаление любого ребра приводит к увеличению числа компонент на единицу. Значит, в графе k+1 компонента и m₀-1 ребро. По предположению индукции, m₀-1 n-(k+1), откуда . Для доказательства верхней оценки считаем каждую компоненту графа G полным графом. Если С_i и С_j - две компоненты с n_i и n_j, вершинами (), то заменяя их на полные графы c n_i+1 и n_j-1 вершинами, мы, не меняя числа вершин, увеличиваем число ребер. Действительно,

Значит, максимальное число ребер имеет граф G, у которого k-1 изолированных вершин и компонента из полного графа на n-k+1 вершинах. Отсюда и следует верхняя оценка.

Следствие. Любой граф с n, имеющий более, чем ребер не превышает. Но неравенство справедливо только при k = 1.

Убедимся теперь в том, что степени вершин существенно влияют на наличие циклов в графе.

Факт3. Если степень каждой вершины графа G(V, E) не меньше двух, то G содержит цикл.

Пусть v - произвольная вершина из V. Строим последовательность ребер (v, v₁), (v₁, v₂),..., выбирая v₁ смежной с v,..., v_i+1 - смежной с v_i, и отличной от v_i-1. По условию вершина v_k существует. В силу конечности V на некотором шаге сбудет выбрана вершина, уже встретившаяся раньше. Пусть это v_k. Тогда часть последовательности ребер между вхождениями v_k образует цикл.

2. Пусть G- связный граф, u, v- произвольные вершины. Определим d(u, v) -расстояние между u и v как длину кратчайшего пути из u в v. При этом полагаем d(u, v) = 0 при и u= v.

Ясно, что введенное таким образом расстояние удовлетворяет аксиомам метри ки:

1. d(u, v)

2. d(u, v)=0 u=v

3. d(u, v)=d(v, u)

4.d(u, v)+d(v, w) d(u, w)(неравенство треугольника) Для связного графа G диаметр d(G) определяется как d(G)= d(u, v)

Графы G₁(V₁, E₁) и G₂(V₂, E₂) называются изоморфными, если существует биекция f: V₁ V₂, такая, что выполнено

При этом f называется изоморфизмом графов G₁ и G₂. Изоморфизм графа G на себя называется автоморфизмом.

Пример 1. Следующие графы имеют только тождественные автоморфмы

Пример 2. Следующий граф имеет, кроме тождественного, автоморфизмы (1, 3), (2, 4), (13)(24).

Широко известна так называемая проблема изоморфизма графов, в которой для любых двух графов требуется установить, изоморфны они или нет. Для знакомства с результатами по данной проблеме следует обратиться к приведенному списку литературы.

4. Поскольку графы можно рассматривать как частные случаи бинарных отношений, то для них могут быть определены аналогичные операции. Укажем некоторые из них.

Пусть G₁=(V₁, E₁), G₂ = (V₂, E₂) - два графа.

Объединение графов G₁ и G₂ есть граф, у которого

Соединение графов G₁+G₂ есть граф, у которого для всех

Прямое произведение графов есть граф, у которого

Пример. Пусть даны графы отображений . Тогда их прямое произведение соответствует отображению

Пусть f₁ и f₂ имеют и начальных верши» соответетвенно. Тогда f₁ f₂ будет иметь начальных вершин.

5. Некоторые классы графов допускают характеристическое описание. В качестве примера приведем критерий двудольности графа.

Теорема. Для двудольности графа необходимо и достаточно, чтобы он не содержал циклов нечетной длины.

Пусть G = (V, Е) - двудольный граф, С - один из его циклов длины k. Фиксируем вершину v₁ С и проходим цикл, начиная с v₁. Пусть это вершины v₁, v₂,..., v_k. Поскольку концы каждого ребра лежат в разных долях, то k - четное число.

Пусть G=(V, Е)-связный и все его циклы четной длины. Определим разбиение V = V₁ V₂ следующим образом: Фиксируем произвольную вершину v₁ V и включаем ее в V₁. Теперь включаем u V₁ d(u, v₁) – четное число. Остальные вершины включаем в V₂.

Покажем, что граф G двудольный. Пусть, напротив, существует ребро (), где . Следовательно, d(), d() - четны. Ребро () дает цикл нечетной длины, содержащий путь от v₁ к , ребро (v', v"), путь от v" к v₁. Аналогично показываем, что нет ребер (), v', v'' V₂.