![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Определение кубического сплайна.
Пусть на отрезке [a, b] задана функция y = f(x). Рассмотрим сетку узлов a=x0 < x1 < x2 < … < xn = b (1) и обозначим расстояние между смежными узлами: hi = xi – xi-1, i=1, 2, …, n (2)
определение. Назовем кубическим сплайном функции y = f(x), х Î [a; b] на сетке (2) функцию S(x), удовлетворяющую условиям:
S(xi) = f(xi) = fi, i=0, 1, 2, …, n.
Замечание. На концах сегмента [a; b], в принципе, могут быть заданы и другие условия, например, S''(а)=А, S''(b)=В. Справедлива следующая теорема. Теорема. Существует единственный сплайн S(x), удовлетворяющий условиям 1-4. Проведем доказательство теоремы конструктивным способом, т.е. сведем задачу построения сплайна к определению коэффициентов частичных полиномов третьей степени на каждом из отрезков [xi-1; xi]. Для этого сопоставим отрезку [xi-1; xi] полином Si (x). Запишем полином Si (x) в виде:
При этом очевидно, что
Подставив xi в (3), (4), (5), получим:
Отсюда следует, что для выполнения условия 3 в узлах интерполяции
Требуя непрерывности сплайна в узлах xi, i= 1, 2, …, n-1 и выполнения условия 3 при i=0, получаем:
или Это равенство можно переписать следующим образом:
Условие 2 относительно непрерывности первой производной S'(x) в узлах xi, i = 1, … n-1, принимает вид:
и приводит к соотношениям или
Аналогичным образом условия непрерывности второй производной S'' (x) в тех же узлах
означают, что
Наконец, дополнительные граничные условия 4 дают еще два уравнения:
В итоге мы получили замкнутую систему (9), (11), (13), (14), содержащую в сумме 3п линейных уравнений для отыскания 3п неизвестных: bi, сi, di, i=1, 2, …, n. Удобно формально ввести еще одно неизвестное с0, положив при этом что оно равно нулю: с0 = 0, и первое уравнение в (14) переписать в виде
т.е. в форме, аналогичной (13). Теперь уравнения (13), (14) естественно представить в единообразном виде:
Обратим внимание на то, что из системы (15) можно выразить все коэффициенты di через разности
Сдвигая индекс i на единицу, получаем симметрическую форму записи уравнений (17):
Кроме того, согласно (16) с0 = сп = 0 (19) Система (18) содержит (п-1) уравнение с (п-1) -м неизвестным: с1, с2, …, сп-1. Величины с0 и сп определены дополнительными соотношениями (19). Если сетка (1) равномерная, т.е. hi=h=const, то уравнения (18) принимают особенно простой вид:
Для уравнений системы (18) выполнено условие диагонального преобладания. Отсюда следует существование и единственность решения задачи (18), (19). Зная величины ci, можно рассчитать остальные коэффициенты сплайна по формулам
завершив тем самым построение сплайна. Теорема доказана.
|