Задание 2. По дисциплине: Высшая математика .

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ №2

Вариант

По дисциплине: Высшая математика.

(наименование дисциплины согласно учебному плану)

Автор: студент гр. ______________ //

(подпись) (Ф.И.О.)

ОЦЕНКА: _____________

Дата: ___________________

ПРОВЕРИЛ: Доцент ________________ /Лебедев И.А./

^{(должность) (подпись) (Ф.И.О.)}

Санкт-Петербург

2003 год

Задание 1

По шифру определяем исходные данные:

Возьмем за x₁ количество произведенного товара A, а за x₂ количество товара B, тогда – план, а целевой функцией является прибыль от продажи обоих товаров:

Сначала решим задачу геометрическим методом.

Для этого сперва надо найти градиент для данной функции: .

После этого составляем неравенства ограничений:

или

Подставим в каждое из этих неравенств начало координат для определения нужных полуплоскостей. Таким образом, получаем многоугольник, заштрихованный на чертеже. Двигаясь по графику в направлении градиента, мы получаем точку пересечения ребер симплекса (вершину этого симплекса). Для определения ее координат составляем систему уравнений:

Решая ее, получаем координаты вершины симплекса, являющиеся оптимальным планом для данной функции

Теперь решим задачу симплексным методом.

Для этого необходимо привести ее к каноническому виду, т.е. задачу максимизации сделать задачей минимизации , а в матрице ограничений в неравенства надо добавить балансовые переменные для превращения неравенств в уравнения:

Получаем план . Так как все коэффициенты при свободных переменных (x₃ и x₄) неотрицательны, то получаем план , который является оптимальным; так как при свободных переменных (x₃ и x₄) нет коэффициентов , равных нулю, план единственный, а значение целевой функции при нем равно:

Проверка: (верно)

Ответ: оптимальный план производства , а максимальная прибыль при нем равна 77 рублей 20 копеек.

Задание 2

Сначала приведем задачу к каноническому виду: для этого задачу максимизации сделаем задачей минимизации , а в неравенства ограничений добавим балансовые переменные таким образом, чтобы неравенства превратить в равенства.

После этого добавляем искусственные переменные: так как в исходной (нерасширенной) матрице есть два правильных столбца, а ранг исходной матрицы равен трем, то необходимо добавить только одну искусственную переменную x₆, т.е.

Так как искусственная переменная (x₆) равна нулю и все коэффициенты при свободных переменных (x₃ и x₅) неотрицательны, то существует оптимальный план. Так как при свободной переменной x₅ , то существует бесконечное множество решений (альтернативных оптимальных планов), которые можно описать следующим образом:

Пусть , тогда выпишем остальные переменные выражая их через x₅.

Таким образом, получаем следующий план: . Тогда оптимальный план будет следующим: при , т.е.

Максимальное значение целевой функции равно при этом 33.

Проверка: .

Задание 3

Исходные данные:

- матрица стоимости перевозок единицы товара

- величины

Получим начальный допустимый план методом наименьшей стоимости

	P1	P2	P3	bi
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
ak

m=5, n=3 т.е. должны быть заполнены 7 ячеек.

Таким образом, получаем начальный допустимый план, при котором стоимость перевозок равна

Теперь для улучшения этого плана введем потенциалы для Q_i и для P_k, для которых (для клеток, содержащих базисные переменные). Далее для всех клеток считаем псевдостоимость и косвенную стоимость

Так как ни в одной из ячеек не получилась отрицательная косвенная стоимость, план оптимален и не требует улучшения путем пересчета по циклу.

Ответ: минимальная стоимость перевозок равна 126.