Формы записи и физический смысл законов Лоренца и Ампера

В начале XIX века, в результате экспериментальных исследований, учеными были установлены следующие физические явления: магнитное поле действует на движущиеся заряды; движущиеся заряды создают магнитное поле.

Путем обобщения опытных данных было подобрано выражение, математически описывающее силу, действующую со стороны магнитного поля на движущийся в нем заряд. Как выяснилось, эта сила F _м всегда перпендикулярна как к скорости движения частицы v, так и к вектору магнитной индукции B, а ее величина пропорциональна синусу угла между этими векторами:

F _м = q [ v × B ] = q | v |·| B |·sin(α), (1.1)

где F _м – сила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся в нем заряд; v – скорость движения заряда в магнитном поле; B – индукция магнитного поля, α – угол между векторами v и B.

Из выражения (1.1) следует, что на покоящийся заряд, (v = 0) магнитное поле не оказывает никакого силового воздействия. В этом заключается существенное отличие магнитного поля от поля электрического, силовое воздействие которого, на покоящийся в нем заряд, описывается формулой:

F _э = q E, (1.2)

где F _э – сила, действующая на заряд q, со стороны электрического поля; E – напряженность электрического поля.

Очевидно, что при q > 0 вектор силы, направлен по электрическому полю, в противном случае (q < 0) – навстречу.

Если на электрический заряд действует сила со стороны независимо наводимого электрического и магнитного полей, то она определяется выражением (1.3), и называется силой Лоренца (в литературе под силой Лоренца часто понимается лишь ее магнитная составляющая):

F _л = F _э+ F _м. (1.3)

Учитывая (1.1) и (1.2) выражение (1.3) можно переписать в виде:

F _л = q (E +[ v × B ]). (1.4)

В ряде задач удобнее рассматривать действие магнитного поля не на отдельно взятый заряд, а на множество зарядов (электронов) номиналом e, концентрацией n, в единице объема dV. В таком случае сила, действующая со стороны магнитного поля на элемент объема тела dV, будет определяться как:

d F = e [ v × B ] dN = ne [ v × B ] dV, (1.5)

где dN – количество частиц в единице объема dV, т. е. dN = n · dV.

Определяя ток как i = ne v, выражение (1.5) можно переписать в виде:

d F = [ i × B ] dV. (1.6)

Выражение (1.6) справедливо и в более общем случае, когда носителями тока являются заряды не идентичные друг другу по знаку и (или) номиналу.

Рассмотрим частный случай, когда ток i течет вдоль бесконечно тонкого провода с площадью поперечного сечения S. Возьмем бесконечно короткий участок провода длиной dl, и вычислим действующую на него силу d F. Если dV = S · d l – объем этого участка, то:

i dV = I d l, (1.7)

причем направление вектора d l совпадает с направлением тока.

Вектор i dV в данном случае называется объемным, а I d l – линейным элементами тока. Далее, из соотношений (1.6) и (1.7) получаем:

d F = I [ d l × B ]. (1.8)

Таким образом, выражение (1.8) определяет силу, действующую со стороны магнитного поля на линейный элемент тока (закона Ампера).

Интегрируя (1.8) по всей длине, находим силу, действующую на проводник конечной длины (1.9).

(1.9)