Операции с множествами

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями.

В результате операций из исходных множеств получаются новые.

Сравнение множеств

Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент B:

В этом случае A называется подмножеством B, B - надмножеством A.

Если и , то A называется собственным подмножеством B.

Заметим, что . По определению .

Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:

Иногда для того, чтобы подчеркнуть, что множества могут быть равны, используется запись:

Пересечение множеств

Пересечением или произведением n множеств A1, A2, …, An называется множество A, каждый элемент которого принадлежит каждому из множеств A1, A2, …, An:

A = A₁ A₂ … A_n

где знак обозначает операцию пересечения множеств.

Как и в случае объединения множеств, их пересечение на диаграммах Венна обозначается штриховкой.

Операции пересечения множеств присущи те же свойства, что и операции объединения:

а) пересечение коммутативно:

A B = B A;

A B C = B A C = C A B = и т. д.;

б) пересечение ассоциативно:

(A B) C = (A C) B = (B C) A = A B C

Благодаря ассоциативности при записи нескольких множеств, объединенных знаком пересечения, скобки можно не ставить;

в) если A ⊆ B или A ⊂ B, то A B = A.

Приведена диаграмма Венна для A ⊂ B.

Заштрихована область, относящаяся к обоим множествам A и B. Так как A ⊂ B, то все элементы множества A одновременно являются элементами множества B.

Из свойства «в» следует, что: A A = A A ∅ =A A I = I

Необходимо отметить еще два свойства: дистрибутивность пересечения относительно объединения:

A (B C) = (A B) (A C)

и дистрибутивность объединения относительно пересечения

A (B C) = (A B) (A C)

Объединение множеств

Объединением или суммой n множеств A1, A2, …, An называется множество, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из этих n множеств:

A= A₁ U A₂ … U A_n,

где знак U обозначает операцию объединения множеств.

Формально операция объединения множеств определяется следующим образом:

A = {x / x ∈ A₁ ∨ x ∈ A₂ ∨ … ∨ x ∈ A_n},

где ∨ — логический знак, обозначающий союз ИЛИ.

На диаграммах Эйлера объединение множеств обозначают сплошной штриховкой областей, соответствующих этим множествам.

Операция объединения множеств обладает следующими свойствами:

а) объединение коммутативно:

A U B = B U A;

б) объединение ассоциативно:

(A U B) U C = (A U C) U B = (B U C) U A = A U B U C

Благодаря ассоциативности при записи нескольких множеств, соединенных знаком объединения, скобки можно не использовать;

в) если B ⊆ A или B ⊂ A, то A U B = A приведена диаграмма Венна для случая, когда B ⊂ A. Штриховкой отмечена область множества A, которая одновременно относится и к множеству A U B.

Из свойства «в» следует, что: A U A = A A U ∅ =A A U I = I.

Разность (дополнение) множеств

Если I — универсальное множество, то дополнением множества A называется множество всех тех элементов, которые являются элементами множества I, но не входят в множество A.

Формально операцию дополнения можно определить следующим образом:

A = {x / x ∉ A ∧ x ∈ I}.

На рис. приведена диаграмма Венна, иллюстрирующая операцию дополнения.

Из диаграммы видно:

A U = I;

A = ∅;

= A

свойство инволюции

если A = ∅, то = I, т. е. = I;

если A = I, то = ∅, т. е. = ∅.

Дополнение множества A возможно не только до универсального, но и до любого множества Q, если A ⊆ Q:

= {x / x ∉ A, x ∈ Q, A ⊆ Q},

где знак Q при символе A (т. е. ) говорит о том, что операция дополнения осуществляется до множества Q.