Задание 1. Выполнил: Группа: ГЗЭП-14 Подпись:__ Дата:__ Преподаватель: Ломанова Е.В.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «СТАТИСТИКА»

Вариант № 10

Рыбинск 2015 г.

Задание 1.

По ряду предприятий получены данные, представленные в таблице А1 приложения А. Постройте ряд распределения предприятий по числу рабочих, образовав пять групп с равными закрытыми интервалами, и представьте его графически. Охарактеризуйте ряд числом рабочих, объемом произведенной продукции за год; объемом основных средств. Рассчитайте по полученным данным показатели вариации; среднее, модальное и медианное количество рабочих. Сделайте выводы.

Таблица А1 – Показатели деятельности предприятий.

Решение.

Важнейшим этапом исследования социально-экономических явлений и процессов является систематизация первичных данных и получение на этой основе сводной характеристики объекта в целом при помощи обобщающих показателей, что достигается путем водки и группировки первичного статистического материала.

Сводка – это комплекс последовательных операций по обобщению конкретных единичных фактов, образующих совокупность, для выявления типичных черт и закономерностей, присущих изучаемому явлению в целом.

Группировкой называется распределение единиц изучаемой совокупности на однородные группы по определенным, существенным для них признакам.

Различают следующие виды группировки:

1. Типологическая группировка – разделение качественно неоднородной совокупности на отдельные качественно однородные группы и выявление на этой основе экономических типов явлений.

2. Структурная группировка – это выявление закономерностей распределяется единиц однородной совокупности по варьирующим значениям исследуемого признака.

3. Аналитическая группировка – это исследование взаимосвязей варьирующих признаков в пределах однородной совокупности. При ее построении можно установить взаимосвязи между двумя признаками и более. При этом один признак будет результативным, а другой (другие) – факторным.

Построение группировки начинается с определения состава группировочных признаков.

Выбор группировочного признака – один из самых существенных и сложных вопросов теории группировки и статистического исследования.

Группировочным признаком называется признак, по которому проводится разбиение единиц совокупности на отдельные группы. В основание группировки могут быть положены как количественные, так и атрибутивные признаки. Первые имеют числовое выражение, а вторые отражают состояние единицы совокупности.

Интервал – это значение варьирующего признака, лежащее в определенных границах. Каждый интервал имеет свою величину, верхнюю и нижнюю границы или хотя бы одну из них. Нижней границей интервала называется наименьшее значение признака в интервале, а верхней границей – наибольшее значение признака в интервале. Величина интервала представляет собой разность между верхней и нижней границами интервала.

Интервалы группировки в зависимости от их величины бывают равные и неравные.

Если вариация признака проявляется в сравнительно узких границах и распределение носит равномерный характер, то строят группировку с равными интервалами.

Величина равного интервала определяется по следующей формуле:

где x_max и x_min - максимальное и минимальное значения признака в совокупности;

n – число групп.

Интервалы группировок могут быть закрытыми и открытыми.

Закрытыми интервалами называются интервалы, у которых имеется верхняя и нижняя границы. У открытых интервалов указана только одна граница: верхняя – у первого; нижняя – у последнего.

Разновидностью структурной группировки является ряд распределения.

Ряд распределения – это упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по определенному признаку. Правила построения ряда распределения аналогичны правилам построения группировки.

В зависимости от признака, положенного в основу ряда распределения, различают атрибутивные и вариационные ряды распределения.

Атрибутивным называют ряд распределения, построенный по качественным признакам, т.е. признакам, не имеющим числового выражения.

Вариационным рядом называют ряд распределения, построенный по количественному признаку. Любой вариационный ряд состоит из двух элементов: вариантов и частот.

Вариантами называют отдельные значения признака, которые он принимает в вариационном ряду, т.е. конкретное значение варьирующего признака.

Частотами называются численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда, т.е. это числа, которые показывают, как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения. Сумма всех частот определяет численность всей совокупности, ее объем. Частостями называются частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу.

В зависимости от характера вариации признака различают дискретные и интервальные ряды.

Дискретные вариационный ряд характеризует распределение единиц совокупности по дискретному признаку, принимающему только целые значения.

Построение интервальных вариационных рядов целесообразно прежде всего при непрерывной вариации признака, а также если дискретная вариация проявляется в широких пределах, т.е. число вариантов прерывного признака достаточно велико.

Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные. К абсолютным показателям относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. К относительным показателям относятся: коэффициенты осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение и др.

Размах вариации R вычисляется по формуле:

R=x_max – x_min

Среднее линейное отклонение является обобщающей мерой вариации индивидуальных значений признака от средней арифметической величины. Она дает абсолютную меру вариации. Среднее линейное отклонение рассчитывается по формуле:

.

Алгоритм расчета среднего линейного отклонения:

1. Найдем середину интервалов по исходным данным

2. Определим произведения значений середины интервалов на соответствующие им веса (f_i). Рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную.

3. Для расчета линейного отклонения найдем абсолютные отклонения середины интервалов, принятых нами в качестве вариантов признака (x’_i) от средней величины ().

4. Вычислим произведения отклонений на их веса (f_i) и подсчитаем сумму их произведений.

5. Делим эту сумму на сумму весов, чтобы получить искомую величину.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины и вычисляется по формуле взвешенной дисперсии

.

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии.

.

Коэффициент асциляции: .

Линейный коэффициент вариации: .

Коэффициент вариации: .

Средняя величина характеризует типичный уровень признака в совокупности. По данным вариационного ряда распределения средняя рассчитывается как арифметическая взвешенная на основе частот:

,

где т – число групп.

Если используется интервальный ряд распределения то, допуская, что распределение в границах i -го интервала является равномерным, как вариант x_i, используют середину интервала (х').

Мода (Мо) – значение признака, наиболее часто встречающегося в исследуемой совокупности, т.е. это одна из вариант признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту.

В интервальном ряду по наибольшей частоте определяется модальный интервал, а конкретное значение моды в интервале вычисляется по формуле:

где х₀ и i – соответственно нижняя граница интервала и величина модального интервала;

f_Mo, f_Mo-1, f_Mo+1 – частоты модального, предмодального и послемодального интервалов.

Медиана (Ме) – значение признака, приходящееся на середину ранжированной совокупности, т.е. это вариант, который делит ряд распределения на две равные по объему части.

Для определения медианы в ранжированном ряду необходимо вначале найти номер медианы:

.

Затем используют кумутативные частоты S_i.

В интервальном вариационном ряду распределения конкретное значение медианы вычисляется по формуле:

,

где x₀ и i - соответственно нижняя граница и величина медианного интервала;

f_Me – частота медианного интервала;

S_Me-1 – кумутативная частота предмедианного интервала.

Кумутативная частота характеризует объем совокупности со значениями варрантов, не превышающих X_i. Кумутативные частотные показатели образуются последовательным суммированием абсолютных и относительных частот: S₁=f₁; S₂=f₁+f₂; S₃=f₁+f₂+f₃ и т.д.

1. Построим структурную группировку.

Построим ряд распределения предприятий по числу рабочих. Для этого образуем пять групп с равными закрытыми интервалами. Величину интервала определим по формуле:

x_max =256; x_min=51; n=5.

.

Обозначим границы групп:

Теперь подсчитаем число предприятий в каждой из групп.

Разнесем показатели, характеризующие предприятия по группам в разработочной таблице (таблица 1.1).

Таблица 1.1 – Разработочная таблица группировки предприятий по среднесписочному числу рабочих.

Результаты группировки занесем в сводную таблицу (таблица 1.2), а также определим долю каждой группы в общем количестве предприятий (таблица 1.3).

Таблица 1.2 – Сводная таблица группировки предприятий по среднесписочному числу рабочих.

Таблица 1.3 – Группировка предприятий по среднесписочному числу рабочих.

Из таблицы 1.3 видно, что в основном преобладают предприятия с небольшим количеством рабочих, на долю которых приходится 37, 02% всех рабочих. Более конкретный анализ взаимосвязи показателей можно сделать на основе аналитической группировки.

2. Построим аналитическую группировку.

В качестве факторного признака примем среднесписочное число рабочих, а результативного – объем основных средств и объем произведенной продукции. Результаты группировки изложим в таблице 1.4.

Таблица 1.4 – Зависимость объема произведенной продукции за год от объема основных средств и числа рабочих.

Данные, приведенные в таблице 1.4, показывают, что с увеличением численности рабочих от группы к группе увеличивается объем основных средств и объем произведенной продукции. Это говорит о наличии прямой связи между рассматриваемыми признаками.

Рассчитаем размах вариации

R=256-51=205 чел.

Определим середины интервалов (x'); найдем произведение серединных значений признака (x') на соответствующие веса (d_i). В итоге получается сумма равная 12936, 55. Делим эту сумму на сумму весов (), чтобы получить искомую среднюю () величину:

чел.

Таблица 1.5 – Данные для расчета средней взвешенной.

Следовательно, для данной совокупности среднесписочной численности рабочих типичным, характерным является средняя численность рабочих равная 129, 37 чел.

Таблица 1.6 – Расчетные данные для определения среднего линейного отклонения

чел.

Таблица 1.7 – Расчетные данные для определения дисперсии и среднего квадратического отклонения.

;

чел.

Коэффициент осцилляции: .

Линейный коэффициент вариации: .

Коэффициент вариации: .

Рассчитаем моду.

Таблица 1.8 – Данные для расчета моды.

По данным таблицы 1.8, наибольшее среднесписочное количество рабочих во второй группе. Это и есть модальный интервал, ширина интервала i =40, а нижняя граница х₀ =93, частота f_Mo =1403, предмодальная частота f_Mo-1 =494, а послемодальная частота f_Mo+1 =434. Подставим эти значения в формулу моды:

чел.

Рассчитаем медиану. Для начала мы должны найти номер медианы:

.

Накапливаем частоты до тех пор, пока кумутативная частота S не будет равна этому номеру или превысит его (таблица 1.9).

Таблица 1.9 – Данные для расчета медианы.

Накопленная чистота 1897 превысила номер медианы 1895, 5 в интервале 93-133 чел.

Точное нахождение медианы на данном интервале определим по формуле:

чел.

Вывод:

Из таблицы 1.3 видно, что в основном преобладают предприятия с небольшой среднесписочной численностью рабочих, на долю которых приходится 37, 02% всех рабочих. Из таблицы 1.4 видно, что с увеличением среднесписочной численности рабочих от группы к группе увеличивается объем произведенной продукции и стоимость основных средств. Это говорит о наличии прямой связи между рассматриваемыми признаками.

Среднее количество рабочих в данной совокупности равно 129 человек. Мода для данной совокупности равна 112, 36 человек, а медиана 132, 96 человек. Это говорит о том, что наиболее часто встречаются предприятии со среднесписочной численностью рабочих равной 112 человек. Медиана делит ряд на две равные части: первая половина предприятий имеют среднесписочную численность рабочих размером до 132, 96 человек, а вторая половина – свыше 132, 96 человек.

Размах вариации равен 205 человек, т.е. разница между самой большой и самой маленькой численностью рабочих предприятий равна 205 человек. Среднее линейное отклонение равно 35 человек, этот показатель отражает все колебания варьирующего признака и дает общую характеристику. При прочих равных условиях все единицы совокупности в соответствии с основными законами своего развития имеют одинаковую и при том вполне определенную величину в данных условиях места и времени.

Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от среднего значения. Этот показатель равен 49 человек.

Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней, т.е. 158, 46%.

Линейный коэффициент вариации характеризует долю усредненного значения абсолютного отклонения от средней величины, т.е. 26, 73%.

Коэффициент вариации позволяет судить об однородности совокупности:

– < 17% – абсолютно однородная;

– 17–33%% – достаточно однородная;

– 35–40%% – недостаточно однородная;

– 40–60%% – это говорит о большой колеблемости совокупности.

В нашем случае коэффициент вариации равен 38, 17%, это говорит о том, что данная совокупность является недостаточно однородной.

Задание 2

При помощи коэффициента парной корреляции по данным таблицы А2 приложения А оцените наличие и тесноту связи между количеством договоров страхования и величиной страховых выплат. Расчеты представьте в таблице. Найдите параметры уравнения регрессии. Постройте графически линию регрессии и поле корреляции. Сделайте выводы

Таблица А2 – Показатели деятельности страховых организаций региона

Решение.

Изменение тесноты и направление связи является важнейшей задачей изучения и количественного измерения взаимосвязи социально-экономических явлений.

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции.

Определим тесноту связи и ее характер между числом договоров страхования и размером страховых выплат, а также коэффициент парной корреляции с помощью таблицы 2.1.

Таблица 2.1 – Расчетные данные для определения коэффициентов корреляции

Используя формулу , получаем:

;

;

.

Оценка линейного коэффициента связи

Количественные критерии оценки тесноты связи

Величина коэффициента корреляции	Характер связи
До	Практически отсутствует
	Слабая
	Умеренная
	Сильная

Коэффициент корреляции равен 0, 8116, т.е. связь между числом договоров страхования и размером страховых выплат прямая, сильная.

Определим параметры уравнения прямой на основе метода наименьших квадратов, решив систему нормальных уравнений.

Решение системы уравнений позволяет получить выражения для параметров а₀ и а₁:

Подставим наши значения в формулы и вычислим а₀ и а₁:

а₀ = -19, 8835; а₁ =0, 4311.

Исходные данные и расчетные показатели представим в таблице 2.2.

Таблица 2.2 – Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии зависимости между ставкой процентов и суммой выданных кредитов

Организация	у	х	х2	ху
		25, 00			23, 23
		17, 96	322, 56	1706, 2	21, 07
		31, 68	1003, 62	3484, 8	27, 54
		10, 80	116, 64		16, 76
		36, 34	1320, 6	4288, 12	30, 99
		21, 38	457, 1	1389, 7	8, 14
		54, 60	2981, 16		40, 47
		13, 92	193, 77	835, 2	5, 98
		10, 70	114, 49		10, 29
		11, 54	133, 17	946, 28	15, 47
		17, 44	304, 15	1639, 36	20, 64
		12, 48	155, 75	973, 44	13, 74
		12, 30	151, 29	774, 9	7, 28
		10, 90	118, 81	948, 3	17, 62
		9, 90	98, 01	950, 4	21, 50
		47, 33	2240, 13	6436, 88	38, 75
		31, 86	1015, 06	3823, 2	31, 85
		20, 61	424, 77	2370, 15	29, 69
		16, 80	282, 24	1881, 6	28, 40
		31, 23	975, 31	3997, 44	35, 30
Итого:		444, 77	13033, 63	48256, 97	444, 70

Изобразим графически поле корреляции и полученную линию регрессии.

Рисунок 1.1 – График корреляционного поля

Вывод:

Из расчетов в таблицах 2.1 и 2.2, а также на рисунке 1.1 видно, что связь между числом договоров страхования и размером страховых выплат является прямой. Эта связь сильная.

В случае увеличения число договоров страхования на 1 единицу, размер страховых выплат увеличится на 0, 4311 тысяч рублей.

Задание 3

В таблице 15 представлены данные об уровне заработной платы работников анализируемых профессий.

Таблица 15 – Средняя заработная плата

Определите изменение средней заработной платы по каждой группе рабочих; индексы средней заработной платы переменного, постоянного состава; структурных сдвигов. Оцените влияние отдельных факторов на изменение средней заработной платы рабочих. Сделайте выводы по результатам расчета.

Решение

Определить среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу. Для расчета средней заработной платы работников предприятия необходимо общий фонд заработной платы разделить на общее число работников:

ИСС =Фонд заработной платы/число работников.

При изучении динамики качественных показателей приходится определять изменение средней величины индексируемого показателя, которое обусловлено взаимодействием двух факторов – изменением индексируемого признака у отдельных групп единиц и изменением структуры явления.

Под изменением структуры явления понимается изменение доли отдельных групп единиц совокупности в общей их численности. Так средняя заработная плата на предприятии может вырасти в результате роста оплаты труда работников или увеличения доли высокооплачиваемых сотрудников. Так как на изменение среднего значения показателя оказывают воздействие два фактора, возникает задача определить степень влияния каждого из факторов на общую динамику средней.

Эта задача решается с помощью индексного метода, т.е. путем построения системы взаимосвязанных индексов, в которую включаются три индекса: переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов.

Индексом переменного состава называется индекс, выражающий соотношение средних уровней изучаемого явления, относящихся к разным периодам времени. Индекс средней заработной платы переменного состава рассчитывается по формуле:

,

где I_ПС – индекс переменного состава.

Индекс переменного состава отражает изменение не только индексируемой величины, но и структуры совокупности.

Индекс постоянного (фиксированного) состава – это индекс, исчисленный с весами, зафиксированными на уровне одного какого-либо периода, и показывающий изменение только индексируемой величины. Индекс фиксируемого состава определяется как агрегатный индекс. Так, индекс средней заработной платы фиксированного состава рассчитывается по формуле:

,

где I_ФС – индекс постоянного (фиксированного) состава.

Под индексом структурных сдвигов понимают индекс, характеризующий влияние изменения структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня этого явления. Индекс определяется по формуле:

,

где I_CС – индекс структурных сдвигов.

Система взаимосвязанных индексов при анализе динамики средней себестоимости имеет следующий вид:

I_ПС = I_ФС * I_CС

Индекс

переменного

состава

Индекс

фиксированного

состава

Индекс структурных

сдвигов

Рассчитаем среднюю заработную плату в отчетном периоде, а также ее изменение по каждой группе. Расчеты представим в таблице 3.1

Таблица 3.1 – Изменение средней заработной платы по каждой группе.

Средняя заработная плата у маляров увеличилась на 33, 24%, у штукатуров на 1, 52%, а у монтажников на 0, 45%. Численность маляров увеличилась на 3 человека, монтажников на 5 человек, а численность штукатуров уменьшилась на 3 человека.

Для расчета индексов переменного, постоянного составов и индекса структурных сдвигов запишем все данные в таблицу 3.2.

Таблица 3.2 – Расчетная таблица для определения индексов постоянного и переменного состава и индекса структурных сдвигов.

Индекс средней заработной платы переменного состава:

Абсолютное изменение средней заработной платы составило:

D_f=21644, 23-20120, 55=1523, 68 руб.

Индекс средней заработной платы фиксированного состава:

,

Абсолютное изменение средней заработной платы за счет изменения по каждой группе отдельно составило:

D_f(f)=21644, 23-20133, 33=1510, 90 руб.

Индекс структурных сдвигов:

,

Абсолютное изменение средней заработной платы за счет структурных сдвигов составило:

D_f(стр)=20133, 33-20120, 55=12, 78 руб.

Между следующими показателями существует следующая взаимосвязь:

I_ПС = I_ФС * I_СС

1, 076=1, 075*1, 001

D_f= D_f(f)* D_f(стр)

1523, 68=1510, 90+12, 78

Таким образом, в отчетном периоде по сравнению с базисным средняя заработная плата по всем группам увеличилась на 7, 6% или на 1523, 68 рублей. Это произошло под влиянием двух факторов.

Во-первых, за счет увеличения заработной платы во всех группах на 7, 5% или на 1510, 90 рублей. Во-вторых, за счет структурных изменений в численности работников средняя заработная плата по всем группам увеличилась на 0, 1% или на 12, 78 рублей.

Абсолютное изменение фонда заработной платы за счет отдельных факторов определим, исходя из следующей модели:

Итак, абсолютное изменение фонда заработной платы составило:

- вследствие изменения среднесписочной численности работников:

DF(T)=1570400-1468800=101600 (руб.)

- вследствие изменения средней заработной платы:

DF(f)=1688250-1570400=117850 (руб.)

- за счет двух факторов:

DF= 1688250-1468800=219450 (руб.)

DF= DF(T)+ DF(f)

219450=117850+101600

Таким образом, в отчетном периоде по сравнению с базисным фонд заработной платы по всем группам в целом увеличился на 219450 рублей. Это произошло под влиянием двух факторов. Во-первых, за счет увеличения среднесписочной численности работников фонд заработной платы увеличился на 101600 рублей. Во-вторых, за счет повышения средней заработной платы фонд заработной платы увеличился на 117850 рублей.

Список используемой литературы

1. Теория статистики: Учебник / Р.А.Шмойлова, В.Г.Минашкин, Н.А.Садовникова, Е.Б.Шувалова; Под ред. Р.А.Шмойловой. – 6-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2010.

2. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие / Р.А.Шмойлова, В.Г.Минашкин, Н.А.Садовникова / Под ред. Р.А.Шмойловой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005.