Теоретическая часть. Цель работы: изучение закона сохранения момента импульса и основного уравнения динамики вращательного движения; измерение скорости пули методом крутильного

Лабораторная работа № 10

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПУЛИ С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы: изучение закона сохранения момента импульса и основного уравнения динамики вращательного движения; измерение скорости пули методом крутильного баллистического маятника.

Теоретическая часть

Метод крутильного баллистического маятника, используемый в данной работе для определения скорости пули, основан на применении закона сохранения момента импульса и основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела. Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением (рис. 10.1):

(1)

где: - радиус-вектор, проведенный из т. О в т. А,

- импульс материальной точки А.

- вектор момента импульса точки.

Модуль вектора момента импульса:

L = r p sinα, (2)

где: α – угол между векторами.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Z каждая его частица массой m_i движется по окружности постоянного радиуса r_i с некоторой скоростью υ _i. Момент импульса отдельной частицы тела равен:

L_i = m_ip_iυ _i. (3)

Момент импульса твердого тела относительно заданной оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц тела:

= (4)

Т.к. υ _i = ω _ir_i, то следует, что:

= (5)

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси Z равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения.

Если продифференцировать по времени это выражение, то получаем уравнение:

=(6)

где: ε – угловое ускорение тела, – момент сил, действующих на тело относительно оси Z.

Данное уравнение называется основным уравнением динамики вращательного движения и в векторном виде может быть представлено следующим образом:

(7)

В замкнутой системе момент внешних сил равен нулю и, следовательно, =0,

поэтому:

, откуда = const. (8)

Это выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы не изменяется со временем.

Примером применения закона сохранения момента импульса и уравнения динамики вращательного движения является удар (соударение) тел, в результате которого одно из них начинает вращаться.

Удар – это столкновение двух и более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Абсолютно упругий удар – столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию. Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. При ударе в телах возникают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Соударение пули с баллистическим крутильным маятником является примером такого взаимодействия. Крутильный маятник представляет собой симметричное тело, подвешенное на тонкой нити (рис.10.2). Если повернуть его в горизонтальной плоскости на угол φ, то в закручивающейся нити подвеса возникают силы, возвращающие тело в начальное положение. При небольших углах закручивания момент этих сил пропорционален величине угла:

М = –D (9)

где: D – постоянная упругих сил (постоянная кручения).

Когда горизонтально летящая пуля попадает в маятник и застревает в нем – происходит неупругий удар. После удара маятник начинает совершать крутильные колебания относительно тонкой нити. Угол поворота системы определяется уравнением, которое следует из основного закона динамики вращательного движения:

+ D (10)

где: – момент инерции колебательной системы.

Решением этого уравнения является:

φ = φ ₀sinω t, (11)

где: φ ₀ – максимальный угол отклонения маятника, ω – частота колебаний маятника.

Согласно закону сохранения момента импульса начальные условия для данной системы имеют вид:

= 0; (0) = mυ ℓ, (12)

где: m –масса «пули», υ – ее скорость, ℓ – расстояние от оси вращения маятника до точки попадания «пули».

Можно определить, что:

(0) = ω φ _0, (13)

где: ω = и период колебаний Т =2π .

Из (12) и (13) следует:

υ = . (14)

Момент инерции для данной колебательной системы можно рассчитать следующим образом:

= 2 m₀ + _p, (15)

где: m₀ – масса груза, ℓ ₁ = 0, 0525 м – расстояние от оси вращения до центров масс грузов, _p – момент инерции рамки.

Период колебаний свободной рамки:

= ₌ (16)

Отсюда следует, что:

= (17)

Из этого соотношения можно определить момент инерции колебательной системы:

(18)

Скорость «пули» можно определить из (14), используя (18):

(19)