Прямые методы

Наиболее известный метод среди прямых - метод исключения Гаусса. Решение проводится в 2 этапа:

Этап 1 - прямой ход, заключающийся в последовательном исключении неизвестных из уравнений, т.е. из 1-го уравнения выражается x₁ и подставляется в уравнения 2…n. Затем из второго уравнения исключается x₂ и подставляется в уравнения 3…n и т.д. Т.о. осуществляется последовательное исключение неизвестных x₁, …, x_n-1. Прямой ход выполняется за (n-1) шагов, на каждом k-ом шаге исключается неизвестная x_k из уравнений, начиная с (k+1)-го и заканчивая n - ым, по формулам:

Здесь i - номер обрабатываемой строки, j - номер обрабатываемого столбца, k - номер шага исключения. В результате прямого хода матрица [A] преобразуется в верхнетреугольную матрицу [U], а вектор {B} в вектор {С}, система уравнений при этом будет иметь вид:

Этап 2 - обратный ход. Состоит из n-1 стадий обратной подстановки снизу вверх. Из последнего уравнения находят значение x_n, подставляют в предыдущее уравнение, из которого находят x_n-1 и т.д. по формуле

Для метода Гаусса необходимо, чтобы все элементы диагональ матрицы А были ненулевыми (соблюдается). Мало того, если к.-л. из элементов диагонали будет иметь близкое к нулю значение (вследствие неравномерной сетки например), то возможны большие ошибки округления. Эта проблема решается исключением на каждом шаге того уравнения, значение элемента на главной диагонали которого максимально по модулю.