Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линиям, составляющим каркас поверхности, а также любым линиям принадлежащим поверхности.

Лекция 11

Точка, принадлежащая поверхности

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линиям, составляющим каркас поверхности, а также любым линиям принадлежащим поверхности.

Рассмотрим построение проекций точек, принадлежащих поверхности конуса (рис.2), когда одна проекция точки задана. Проекция А₂ принадлежит очерковой образующей, следовательно проекция А₁ строится переносом по линии связи. На фронтальной проекции основания конуса расположена проекция точки В2, горизонтальных проекций можно построить две, на передней и задней стороне конуса, поэтому рассматриваем конкурирующие точки В и В `. На фронтальной проекции конуса зададим проекцию точки D<sub>2</sub> и D<sub>2</sub> `. Для того чтобы построить вторые горизонтальные проекции точек необходимо использовать вспомогательные линии: параллель или образующие. Воспользуемся параллелью, для построения горизонтальной проекции параллели, радиусотмеряется всегда от оси вращения до очерковой образующей. Для построения фронтальной проекции точки С использована образующая, которую провели через заданную проекцию. Положение образующей на основании отмечено крестиком.

Рисунок 2. Построение точек, принадлежащих поверхности конуса.

Пересечение поверхности плоскостью.

Конические сечения.

В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций, сложность решения задачи, по определению линии пересечения ее с поверхностью существенно меняется. Наиболее простым представляется случай, когда плоскость проецирующая.

Рисунок 3.Построение линии пересечения конуса

с фронтально-проецирующей плоскостью.

Точки 1 и 4 являются основными точками, их горизонтальные проекции строятся без вспомогательных построений по принципу принадлежности. Точки 2 и 3 – вспомогательные, для их построения использованы параллели. После того как будут построены горизонтальные проекции точек соединим их плавной симметричной относительно горизонтальной оси конуса линией, которая по форме является параболой.

Рассмотрим сечение конуса горизонтально-проецирующей плоскостью (рис.4). На горизонтальной плоскости проекций линия пересечения определена, чтобы построить вторую проекцию этой линии пересечения, обозначим основные (1, 4 и 6) и вспомогательные точки (3, 2). Точки 6 и 1 принадлежат основанию конуса их вторые проекции построить легко. Точка 5 принадлежит очерковой образующей и является границей видимости кривой на фронтальной проекции, ее построение не представляет трудности. Вершина кривой это точка (4), которая находится ближе всего к вершине конуса (в предыдущей задачи она определялась на фронтальной проекции), то есть на перпендикуляре, опущенном из вершины конуса. Точки 3 и 2 являются вспомогательными. Для построения точек 4, 3 и 2 воспользуемся параллелями. Чтобы построить фронтальные проекции параллелей обозначим их пересечение с очерковой образующей крестиками и перенесем их на фронтальную проекцию образующей. После того как будут построены все проекции точек, соединим их плавной линией, при этом участок 6-5 будет невидимым, поэтому его следует провести пунктирной линией. Полученная кривая имеет форму гиперболы.

Рисунок 4. Построение линии пересечения конуса

с горизонтально-проецирующей плоскостью

В зависимости от положения секущей плоскости линиями сечения конической поверхности могут быть (рис.5): эллипс, парабола, гипербола, окружность и треугольник.

Если плоскость Ф пересекает все образующие поверхности конуса вращения, т.е. если φ > α, то линией сечения является эллипс (рис.5). В этом случае секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих поверхности конуса.

В случае, когда плоскость перпендикулярна оси вращения конуса, в сечении получается окружность.