Предварительные сведения

Статистические основы выбора изоляции

Изоляция является одним из важнейших элементов конструкции электрических аппаратов и в значительной степени определяет габариты и надежность работы аппаратов в процессе эксплуатации. Срок эксплуатации электрических аппаратов обычно принимается 25 лет. Для изоляции токоведущих частей аппаратов используются самые разнообразные диэлектрики: газообразные, жидкие и твердые. Классификация изоляции электрических аппаратов может быть проведена по различным признакам. Так, изоляция может быть разделена на две существенно разные категории:

- внешняя изоляция;

- внутренняя изоляция.

Внешняя изоляция находится в непосредственном контакте с окружающим воздухом и использует его изоляционные свойства. Условия работы внешней изоляции существенно зависят от места установки аппарата: на воздухе в открытом распределительном устройстве (ОРУ) или в закрытом помещении - (ЗРУ). В первом случае (ОРУ) внешняя изоляция подвергается воздействию неблагоприятных атмосферных условий (понижение давления воздуха, колебания температуры, увлажнения) и загрязнениям. Внешняя изоляция аппаратов ЗРУ работает в существенно более легких условиях (практически отсутствуют загрязнения). Однако в не отапливаемых помещениях на поверхности изоляторов может выпадать роса, что также уменьшает уровень надежности изоляции. Внутренняя изоляция электрических аппаратов не имеет непосредственного контакта с атмосферным воздухом и размещается в изоляционных или металлических оболочках.

В условиях эксплуатации изоляция электрических аппаратов подвергается комплексу различных воздействий: длительно приложенного напряжения (рабочего напряжения) и кратковременных повышений напряжения (перенапряжений), механических нагрузок, высоких температур, электрической дуги и др. Важнейшей характеристикой изоляции является ее электрическая прочность. Следует различать изоляцию с самовосстанавливающимися свойствами и с несамовосстанавливающимися свойствами. Самовосстанавливающаяся изоляция полностью восстанавливает свои изоляционные свойства после перекрытия (разряда, пробоя) и отключения тока короткого замыкания, который мог возникнуть в результате этого перекрытия. Несамовосстанавливающаяся изоляция теряет свои изолирующие свойства после пробоя или восстанавливает их не полностью после отключения напряжения. Эти свойства изоляции учитываются при нормировании надежности ее работы на стадии проектирования электрических аппаратов. Так при одинаковом уровне ответственности и одинаковых уровнях воздействующих напряжений, для самовосстанавливающейся изоляции можно допустить большую вероятность пробоя, т.к. в этом случае надлежащая надежность электроснабжения в целом может быть достигнута другими средствами (например, использование АПВ - автоматического повторного включения). Поскольку стоимость изоляции весьма существенна, то такой подход к ее выбору позволяет добиться значительной экономии средств с сохранением общего уровня надежности электроснабжения в целом. Внешняя изоляция, как правило, самовосстанавливающаяся. Внутренняя изоляция электрических аппаратов большей частью несамовосстанавливающаяся. Для многих видов несамовосстанавливающейся изоляции характерен эффект накопления необратимых частичных повреждений, приводящих к старению изоляции. Причинами ухудшения внешней изоляции главным образом являются загрязнения поверхности изоляторов, которые особенно заметно проявляются при увлажнении. Причинами ухудшения внутренней изоляции являются:

1) электрическое старение вследствие развития частичных разрядов при перенапряжениях или при рабочем напряжении;

2) тепловое старение и окисление изоляции;

3) увлажнение изоляции.

В процессе старения изоляции в ней увеличиваются диэлектрические потери, что может привести к развитию теплового пробоя. Основной причиной электрического старения многих видов изоляции являются частичные разряды (ч.р.). Разрушения в твердом диэлектрике связаны с эрозией, материала; структурными изменениями и разложением вещества; образованием газа и углеродистых включений. Следствием ч.р. являются снижение пробивной напряженности, рост tgδ. Старение изоляции, пропитанной жидкими диэлектриками, прежде всего, проявляется в разрушении и изменении физико-химических характеристик пропитывающего состава, которое сопровождается выделением газа, увеличением tgδ. В последующем возникают разрушения твердой фазы изоляции.

Анализ условий работы изоляции показывает, что большая часть воздействующих на нее факторов носит случайный характер. Случайны величины амплитуд воздействующих коммутационных и грозовых перенапряжений, формы этих импульсов перенапряжений. Случайны величины скорости ветра, приводящих к отклонениям ошиновки подстанций и подходящих к подстанциям проводов ЛЭП. Случайны величины разрядных напряжений изоляции. Все эти случайные факторы, определяющие условия работы изоляции, в настоящее время изучены достаточно подробно. Найдены характеристики их статистических распределений. Большие дисперсии этих распределений исключают возможность выбора изоляции по предельным воздействиям, поскольку такие пределы могут быть назначены только с определенной вероятностью их не превышения. По этой причине возникает проблема оценки необходимых размеров изоляции исходя из заданного уровня надежности ее работы с учетом случайности одновременного воздействия статистически распределенных факторов.

Числовые характеристики нормального закона распределения случайной величины

Как показано выше, большинство воздействующих на изоляцию факторов являются статистическими величинами. Также статистической является и сама величина разрядных напряжений изоляционных промежутков электрических аппаратов. Для выбора изоляции целесообразно аппроксимировать эти статистические величины какими-либо законами распределений. Чаше всего для этой цели используют нормальный закон распределения случайной величины (иногда его называют законом Гаусса). Справедливости ради следует отметить, что этот закон не всегда с достаточной точностью аппроксимирует случайную величину во всем диапазоне ее изменения. Так, величина пробивного напряжения изоляции не может быть меньше некоторого минимального значения (например, для газообразной изоляции - напряжения ионизации, для твердой - напряжения появления частичных разрядов и т.п.). Однако нормальный закон распределения асимптотически приближается к оси абсцисс и вероятность разряда становится равной нулю только при напряжении равном нулю, а это часто противоречит действительности. Тем не менее, в данной работе для упрощения примем, что все случайные величины аппроксимируются нормальным законом с заданным уровнем надежности.

Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами m и σ, если ее плотность распределения имеет вид (рис. 1)

, (1)

где m - математическое ожидание случайной величины Х;

σ - среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Кроме того, случайная величина Х может быть представлена функцией распределения F(x), которая показывает вероятность появления случайного события для Х < x. В литературе часто для обозначения функции распределения F(x) используется иная форма записи - P(x) и она также может называться " интегральной функцией распределения" или " интегральным законом распределения". Функция распределения F(x) и плотность функции распределения f(x) случайной величины Х связаны между собой простыми соотношениями

(2)

(3)

Воспользовавшись соотношениями (1) и (2) для нормального закона распределения случайной величины Х функция распределения F(x) может быть выражена как

. (4)

Как видно из (1) и (4), случайная величина Х, распределенная по нормальному закону, полностью определена, если известны два ее параметра: m и σ. Размерности m и σ совпадают с размерностью Х. Изменение параметров m и σ по величине по разному оказывает влияние на графическую форму отображения случайной величины Х. При изменении m кривые f(x) и F(x), не изменяя своей формы, смещаются вдоль оси абсцисс (рис. 2). Изменение σ равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям; например, для f(x) при удвоении σ масштаб по оси абсцисс удвоится, а по оси ординат - уменьшится в два раза (рис.3). Интегральная функция нормально распределенной случайной величины Х при уменьшении σ становится более крутой. С другой стороны, необходимо отметить, что математическое ожидание m является не чем иным, как средним значением случайной величины Х, а σ - коэффициентом, характеризующим разброс значений Х вблизи m. Заменив пределы интегрирования в формуле (4) можно рассчитать вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Примем этот интервал пропорциональным σ и совместим его центр со значением m, так, что (m-zσ)£ х £ (m+zσ), где z =1; 2; 3 - целое число. Тогда получим, что

при z =1 - F[(m-σ)£ х £ (m+σ)] =0, 6827;

при z =2 - F[(m- 2 σ)£ х £ (m+ 2 σ)] =0, 9545;

при z =3 - F[(m- 3 σ)£ х £ (m+ 3 σ)] =0, 9973,

т.е. чем шире интервал, тем больше вероятность попадания в него значений случайной величины Х. Анализируя приведенные данные можно говорить о том, что при интервале шириной ±3 σ относительно m, в ходе реализации случайного процесса из всех наблюдаемых в опыте значений х 99, 73% попадут в него. Аналогично можно рассчитать значения вероятности того, что в ходе испытаний случайное значение реализации х будет меньше заданной величины. Для этого достаточно выполнить интегрирование по формуле (4) в пределах от -µ до х. Например, приняв верхний предел интегрирования равным х=(m-σ), получим F[(m-σ)£ х] =0, 158656, а при х=(m-1, 3σ) получим F[(m-1, 3σ)£ х] =0, 0968. С достаточной для практики точностью можно считать, что вероятность появления случайного события в первом случае равна 16%, а во втором - 10%. Полученные значения вероятностей появления случайных событий для заданных х часто используются на практике. Так, например, используя значение верхнего предела интегрирования х=(m-σ) и учитывая, что вероятность появления случайного события для этой величины приблизительно равно 16%, легко определить по известной из экспериментов F(x) значение σ (рис. 4)

, (5)

где Х_{0, 5} и Х_{0, 16} - значения случайной величины при вероятностях появления 50% и 16%, соответственно.

Вместо среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины Х в теории надежности часто пользуются относительными значениями σ, которые при этом помечаются " звездочкой"

.

или в процентах:

. (6)

Определение числовых характеристик нормального закона распределения случайной величины по экспериментальным данным

При исследованиях статистических свойств изоляции ее числовые характеристики определяются, используя восстановленные по экспериментальным данным зависимости f(x), F(x). В данной работе рассмотрим одну из методик определения m и σ по зависимости F(x) и условии, что случайная величина - вероятность появления разряда при импульсных испытаниях распределена по нормальному закону.

Методика испытаний заключается в том, что при фиксированной амплитуде импульса высокого напряжения, подаваемого на изоляцию, определяют вероятность ее перекрытия. Как правило, одна серия опытов при постоянной амплитуде импульсов состоит из 25…50 испытаний. Для построения интегральной функции распределения случайной величины с достаточной инженерной точностью проводят 5…7 серий испытаний при разных фиксированных амплитудах. Если в ходе реализации серии опытов не наблюдалось пробоев изоляции (или наоборот, наблюдались только пробои), можно рекомендовать увеличить число опытов в серии, но до разумных пределов. В противном случае серию опытов с частостью появления пробоя изоляции равной 0 или 1 бракуют, а следующую серию испытаний продолжают при скорректированной в нужную сторону амплитуде импульсов.

Полученные в ходе проведения серий опытов данные используют для оценки значений m и σ статистических характеристик изоляции. Для многих практических приложений, в частности, для статистической обработки опытных данных очень удобно представлять интегральные законы распределения F(х) на графиках в виде прямых линий. Переход от нелинейных графиков к линейным связан с заменой переменных. В результате получается новая система координат, в которой шкала по оси F(x) получаются неравномерной. Подготовленную таким образом систему координат часто называют " вероятностной бумагой" (по аналогии с термином " логарифмическая бумага"). Очевидно, что для каждого типа законов распределения применяются свои вероятностные шкалы. " Вероятностная бумага" строится следующим образом. На горизонтальной оси точка x откладывается на расстоянии S_x от начала координат, а точка F(х) откладывается по вертикальной оси на таком расстоянии S_F, чтобы зависимость S_F oт S_x была линейной (рис. 5).

Рассмотрим подробнее построение вероятностной бумаги для нормального закона распределения случайной величины. Как известно, интеграл, входящий в формулу (4), не выражается через элементарные функции. Но его можно выразить через специальную функцию, называемую функцией Лапласа (или интеграл вероятности)

. (7)

Представим нормальный закон распределения через функцию Лапласа, тогда формула (4) может быть представлена в следующем виде

, (8)

где - нормированная переменная.

Теперь для определения значений F(х) можно воспользоваться таблицами квантилей функции Лапласа, приведенных в большом количестве справочной литературы. Квантили нормального распределения приведены приложении в табл. П1 для значений F от 0, 5 до 0, 995.

Масштабный коэффициент К_F выбирается исходя из предполагаемого размера графика и принятого максимального значения F_max. Так, например, при размещении графика на листе формата А4 (расположение книжное) длину оси абсцисс целесообразно принять равной 250 мм. Так как квантили нормального распределения, приведенные в табл. П1, соответствуют только верхней половине графика, то масштабный коэффициент К_F определится по половине длины оси абсцисс. Например, при F_max =0, 995 (t=2, 58 ед.)

К_F =(0, 5× 250 мм)/2, 58 ед.=48, 45 мм/ед. (9)

С учетом полученного коэффициента К_F по вертикальной оси вверх от значения F =0, 5 (середина оси абсцисс) станем откладывать значения t на расстоянии S_F = K_F × t, а надписывать будем значения величины F. При F < 0, 5 справедливо соотношение F( - t) =[1- F(t) ]. Тогда, нижняя половина графика строится аналогично, но откладывать значения (-t) необходимо вниз вдоль вертикальной оси от F =0, 5 на расстоянии -S_F=K_F× (-t), а надписывать величины [1- F(t) ].

Таким образом, шкала по вертикальной оси F(x) получается неравномерной. В табл. П1 приведены значения S_F для высот графиков равных 250 мм; 200 мм; 160 мм и 100мм.

В качестве примера рассмотрим обработку результатов испытания изоляционной конструкции. В табл. 1 приведен протокол испытаний, состоящий из 6 серий по 25 опытов в каждой. В результате обработки данных табл. 1 получим значение частости появления разряда (h) в каждой серии опытов и соответствующее ей среднее значение амплитуды импульсов (U_ср).Результаты расчета сведены в табл. 2.

Таблица 1. Протокол испытаний № 1 (пример).

Результаты расчета сведены в табл. 2.

Таблица 2. Результаты обработки протокола испытаний № 1.

Следует обратить внимание, что определенная в опытах частость разряда (h) является случайной величиной, распределенной по какому то заранее неизвестному статистическому закону. При повторении серии опытов может получится другая величина h. Только при числе опытов, стремящихся к бесконечности, частость (h) будет стремиться к истинной вероятности пробоя изоляционного промежутка (P) для заданного значения напряжения. По понятным соображениям провести такой длительный эксперимент невозможно. Поэтому в практике обработки результатов эксперимента определяются так называемые доверительные интервалы частости разряда. Расчет верхнего (h _В) и нижнего (h_Н) доверительного интервала частости разряда с заданным уровнем значимости можно определить по формуле:

(10)

где h_В, h_Н – верхняя и нижняя доверительные границы частости появления разряда;

n – общее количество испытаний в серии опытов;

n_р – количество разрядов в данной серии опытов;

h=n_р / n – частость разрядов, полученная в данной серии опытов;

t_b – параметр, зависящий от уровня доверительной вероятности b.

Как правило, если nh > 4 и n (1- h)> 4, то закон распределения случайной величины h можно считать соответствующим нормальному статистическому закону и тогда t_b определится по формуле:

(11)

где Ф – функция Лапласа (или интеграл вероятности).

Уровень доверительной вероятности b показывает, что найденный по опытным данным доверительный интервал h_{В, Н} " накроет" неизвестное нам точное значение вероятности разряда P. Обычно задаются величиной b близкой (но меньшей!) единице. Для упрощения расчетов можно воспользоваться данными таблицы 3.

Таблица 3. Значения параметра tb для заданного уровня доверительной