Контрольная работа №1.

1 - 20. Даны векторы а (а₁; а₂; а₃), b (b₁; b₂; b₃), с (с₁; с₂; с₃) и d (d₁; d₂; d₃) в некотором базисе. Показать, что векторы а, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

1. а (1; 2; 3), b (-1; 3; 2), с (7; -3; 5), d (6; 10; 17).

2. а (4; 7; 8), b (9; 1; 3), с (2; -4; 1), d (1; -13; -13).

3. а (8; 2; 3), b (4; 6; 10), с (3; -2; 1), d (7; 4; 11).

4. а (10; 3; 1), b (1; 4; 2), с (3; 9; 2), d (19; 30; 7).

5. а (2; 4; 1), b (1; 3; 6), с (5; 3; 1), d (24; 20; 6).

6. а (1; 7; 3), b (3; 4; 2), с (4; 8; 5), d (7; 32; 14).

7. а (1; -2; 3), b (4; 7; 2), с (6; 4; 2), d (14; 18; 6).

8. а (1; 4; 3), b (6; 8; 5), с (3; 1; 4), d (21; 18; 33).

9. а (2; 7; 3), b (3; 1; 8), c (2; -7; 4), d (16; 14; 27).

10. а (7; 2; 1), b (4; 3; 5), с (3; 4; -2), d (2; -5; -13)

11. а (4; 1; 0) b (0; 1; -2) с (3; -1; 1), d (-5; 9; -13)

12. а (-1; 1; 0) b (0; 5; 1) с (3; 2; -1), d (-15; 5; 6)

13. а (1; 3; 0) b (1; 0; 1) с (0; -2; 1), d (8; 9; 4)

14. а (2; 1; 0) b (1; -1; 0) с (-3; 2; 5), d (23; -14; -30)

15. а (2; 1; 0) b (1; 0; 1) с (4; 2; 1), d (3; 1; 3)

16. а (0; 3; 1) b (1; -1; 2) с (2; -1; 0), d (-1; 7; 0)

17. а (1; -1; 2) b (3; 2; 0) с (-1; 1; 1), d (11; -1; 4)

18. а (1; 1; 4) b (-3; 0; 2) с (1; 2; -1), d (-13; 2; 18)

19. а (0; -2; 1) b (3; 1; -1) с (4; 0; 1), d (0; -8; 9)

20. а (0; 1; 5) b (3; -1; 2) с (-1; 0; 1), d (8; -7; -13)

21 - 40. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребром А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

21. А₁ (4; 2; 5), А₂ (0; 7; 2), А₃ (0; 2; 7), А₄ (1; 5; 0).

22. А₁ (4; 4; 10), А₂ (4; 10; 2), А₃ (2; 8; 4), А₄ (9; 6; 4).

23. А₁ (4; 6; 5), А₂ (6; 9; 4), А₃ (2; 10; 10), А₄ (7; 5; 9).

24. А₁ (3; 5; 4), А₂ (8; 7; 4), А₃ (5; 10; 4), А₄ (4; 7; 8).

25. А₁ (10; 6; 6), А₂ (-2; 8; 2), А₃ (6; 8; 9), А₄ (7; 10; 3).

26. А₁ (1; 8; 2), А₂ (5; 2; 6), А₃ (5; 7; 4), А₄ (4; 10; 9).

27. А₁ (6; 6; 5), А₂ (4; 9; 5), А₃ (4; 6; 11), А₄ (6; 9; 3).

28. А₁ (7; 2; 2), А₂ (5; 7; 7), А₃ (5; 3; 1), А₄ (2; 3; 7).

29. А₁ (8; 6; 4), А₂ (10; 5; 5), А₃ (5; 6; 8), А₄ (8; 10; 7).

30. А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), А₃ (3; 5; 8), А₄ (8; 4; 1).

31. А₁ (1; 3; 6), А₂ (2; 2; 1), А₃ (-1; 0; 1), А₄ (-4; 6; -3).

32. А₁ (-4; 2; 6), А₂ (2; -3; 0), А₃ (-10; 5; 8), А₄ (-5; 2; -4).

33. А₁ (7; 2; 4), А₂ (7; -1; -2), А₃ (3; 3; 1), А₄ (-4; 2; 1).

34. А₁ (2; 1; 4), А₂ (-1; 5; -2), А₃ (-7; -3; 2), А₄ (-6; -3; 6).

35. А₁ (-1; -5; 2), А₂ (-6; 0; -3), А₃ (3; 6; -3), А₄ (-10; 6; 7).

36. А₁ (0; -1; -1), А₂ (-2; 3; 5), А₃ (1; -5; -9), А₄ (-1; -6; 3).

37. А₁ (5; 2; 0), А₂ (2; 5; 0), А₃ (1; 2; 4), А₄ (-1; 1; 1).

38. А₁ (2; -1; -2), А₂ (1; 2; 1), А₃ (5; 0; -6), А₄ (-10; 9; -7).

39. А₁ (-2; 0; -4), А₂ (-1; 7; 1), А₃ (4; -8; -4), А₄ (1; -4; 6).

40. А₁ (14; 4; 5), А₂ (-5; -3; 2), А₃ (-2; -6; -3), А₄ (-2; 2; -1).

41 - 60. Дана система линейных уравнений:

Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) методом Крамера.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

61 - 80. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

61.	а)	б)
в)	г)
62.	а)	б)
в)	г)
63.	а)	б)
в)	г)
64.	а)	б)
в)	г)
65.	а)	б)
в)	г)
66.	а)	б)
в)	г)
67.	а)	б)
в)	г)
68.	а)	б)
в)	г)
69.	а)	б)
в)	г)
70.	а)	б)
в)	г)
71.	а)	б)
в)	г)
72.	а)	б)
в)	г)
73.	а)	б)
в)	г)
	а)	б)
в)	г)
75.	а)	б)
в)	г)
76.	а)	б)
в)	г)
77.	а)	б)
в)	г)
78.	а)	б)
в)	г)
79.	а)	б)
в)	г)
80.	а)	б)
в)	г)

81 – 100. Найти производные данных функций.

81.		82.
83.		84.
85.		86.
87.		88.
89.		90.
91.		92.
93.		94.
95.		96.
97.		98.
99.		100.

101 - 120. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

101. у = 4х/(4+х²) 102. y = (x²-1)/(x² +1)

103. y = (x²+1)/(x²-1) 104. y = x²/(x-1)

105. y = x³/(x²+1) 106. y = (4x³+5)/x

107. y = (x²-5)/(x-3) 108. y = x⁴/(x³-1)

109. y = 4x³/(x³-1) 110. y = (2-4x²)/(1-4x²)

111. y = (1nx)/ 112. y = x

113. y = 114. y = x²-21nx

115. y = 1n (x²-4) 116. y = e^1/(2-x)

117. y = 1n (x²+1) 118. y = (2+x²)

119. y = 1n (9-x²) 120. y = (x-1)e^3x+1.

121 - 140. Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах а) и б) проверить результаты дифференцированием.

121.

122.

123.

124. ;

125. ;

126.

127.

128.

129.

130.

131.

132.

133.

134.

135. ;

136.

137.

138.

139.

140.

141. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = 3х² + 1 и

прямой у = 3х + 7.

142. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоды

х = а(t - sin t), y = a(1 - cos t), и осью Ох.

143. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

r = 3(1 + cos φ).

144. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой

r = 4sin 2φ.

145. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами у = х² и у = .

146. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной полуэллипсом у = , параболой х = и осью Оу.

147. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми у = 2/(1 + х²)⁴ и у = х².

148. Вычислить длину дуги полукубической параболы у = от точки А (2; 0) до точки В (6; 8).

149. Вычислить длину кардиоиды r = 3(1 - cosφ).

150. Вычислить длину одной арки циклоиды х = 3(t - sint), y = 3(1 - cost), .

151. Вычислить длину дуги

152.. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченных графиками функций . Ось вращения

153. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций.

154. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.

155. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах.

156.. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями

157.. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями в полярных координатах

158. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций . Ось вращения

159. Вычислить длину дуги

160. Вычислить длину дуги