Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Коэффициент корреляции (параметрический).
|
|
Дисперсия суммы случайных величин. Корреляционный момент.
X и Y -- случайные величины.
(1) Z=X+Y -- их сумма.
(2) M[Z]=M[X]+M[Y]
Найдём D[Z]=D[X+Y], для этого вычтем из уравнения (1) уравнение (2):
(3) Z-M[Z]=X+Y-M[X]-M[Y]=(X-M[X])-(Y-M[Y])
Для сокращения записи обозначают:
Z-M[Z]=Δ Z
X-M[X]=Δ X Эти величины называют моментами.
Y-M[Y]=Δ Y
Момент -- это отклонение каждого значения случайной величины от её математического ожидания.
Возведём уравнение (3) в квадрат: (Z-M[Z])2=((X-M[X])+(Y-M[Y]))2
Δ Z2=(Δ X+Δ Y)2, тогда
Δ Z2=Δ X2+Δ Y2+2·Δ X·Δ Y -- это сумма квадратов отклонений.
Математическое ожидание от суммы квадратов отклонений это дисперсия:
D[Z]=D[X+Y]=M[Δ Z2]=M[Δ X2]+M[Δ Y2]+2·M[Δ X·Δ Y]=D[X]+D[Y]+2·M[Δ X·Δ Y]
Принято обозначение: M[Δ X·Δ Y]=K[X, Y] -- корреляционный момент.
Основное свойства корреляционного момента: если величины Xи Y независимы, то их корреляционный момент K[X, Y]=0. Обратное утверждение неверно.
Из последнего утверждения следует:
Теорема сложения дисперсий.
Если величины Xи Y независимы, то:
D[X+Y]= D[X]+D[Y]
Этой теоремой пользуются в теории погрешностей, при обработке результатов косвенных измерений. Так как входящие в расчётные формулы величины в большинстве случаев независимы, то подсчитывая среднюю квадратическую погрешность, суммируют квадраты всех их погрешностей.
Коэффициент корреляции (параметрический).
Корреляционный момент K[X, Y] – размерная величина, то есть зависит от выбора единицы измерения. Это затрудняет сравнение корреляционных моментов различных случайных величин, поэтому удобнее использовать безразмерную величину -- коэффициент корреляции:
-- это коэффициент корреляции для генеральной совокупности.
-- средние квадратические отклонения при n→ ∞
Но мы имеем дело с выборкой, n конечно, выборочные оценки M[X] и M[Y] -- это x̅ и y̅ -- общие средние (средние арифметические всех значений X и Y, которые мы имеем из выборки).
Поэтому для вычисления коэффициента корреляции для выборки, используют формулу:
Свойства коэффициента корреляции:
1). -1≤ R[X, Y]≤ +1
если R[X, Y]˃ 0 то корреляция называется положительной,
если R[X, Y]< 0 то корреляция называется отрицательной.
2). если R[X, Y]≈ 1, зависимость между X и Y близка к линейной.
3). 
, то X и Yсвязаны линейной зависимостью:
y=ax+b
x=cx+d
Так как мы имеем дело с выборочной совокупностью, то имеем не множество значений X и Y, а несколько пар выборочных значений: (xi, yi), i=1: n.
| x1 x2 xn |
| yn y2 y1 |
| R≈ +1 Например: X -- нагрузка ↑ Y -- частота пульса ↑ |
| Сильная положительная корреляция: |
| x1 x2 xn |
| yn y2 y1 |
| R≠ +1, R˃ 0 Например: X -- число пятен на солнце ↑ Y – количество инфарктов ↑ |
| Слабая положительная корреляция: |
| Сильная отрицательная корреляция: |
| x1 x2 xn |
| y1 y2 yn |
| R≈ -1 X↑, Y↓ |
| Корреляции (зависимости) нет. |
| x1 x2 xn |
| yn y1 y2 |
| R=0 |
Так как коэффициент корреляции R[X, Y] вычисляется по выборке, то есть является статистической оценкой ρ [X, Y ]-- коэффициента корреляции генеральной совокупности, то R[X, Y] вычислен с ошибкой. Встаёт вопрос: достоверно ли значение выборочного коэффициента корреляции?