![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Примеры решения задач. 1. Кинетическая энергия протона в четыре раза меньше его энергии покоя
1. Кинетическая энергия протона в четыре раза меньше его энергии покоя. Вычислить дебройлевскую длину волны протона. Дано: Т = Е0 /4, Е0 = 1, 50 ∙ 10-10 Дж. Найти: λ. Решение. Длина волны де Бройля λ определяется по формуле
где h – постоянная Планка, р – импульс частицы. Так как по условию задачи
Т = Е0 /4, (2)
кинетическая энергия Т протона сравнима с его энергией покоя Е0, импульс р и кинетическая энергия связаны релятивистским соотношением
где с – скорость света в вакууме. Подставляя в (3) условие (2), найдем
Учитывая равенство (4), запишем (1) в виде
Подставляя в (5) числовые значения, получим Ответ: λ = 1, 77 ∙ 10-15 м. 2. Масса движущегося электрона в три раза больше его массы покоя. Чему равна минимальная неопределенность координаты электрона? Дано: m = 3 m0; m0 = 0, 91 ∙ 10-30 кг. Найти: Δ хmin. Решение. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга,
где Δ х и Δ рх – неопределенности координаты и импульса частицы, h – постоянная Планка. Учитывая, что
где m – масса, v – скорость частицы, соотношение (1) можно представить в виде
Поскольку неопределенность скорости vх, как и сама скорость, не может превышать скорость света с в вакууме, то
Согласно условию m = 3 m0. (5)
Подставляя в (4) условие (5), получим
Проводя вычисления, найдем Ответ: Δ хmin = 1, 28 ∙ 10-13 м. 3. Среднее время жизни возбужденных состояний атома составляет 10 нс. Вычислить естественную ширину спектральной линии (λ = 0, 7 мкм), соответствующую переходу между возбужденными уровнями атома. Дано: τ = 10-8 с; λ = 7 ∙ 10-7 м. Найти: Δ λ min. Решение. При переходе электрона из одного стационарного состояния в другое излучается (или поглощается) энергия, равная
где Еп и Ек – энергетические уровни атома, λ – длина волны излучения, с – скорость света в вакууме, h – постоянная Планка. Из (1) следует, что неопределенность длины волны Δ λ излучения связана с неопределенностью энергии уровней Δ Еп и Δ Ек атома соотношением
Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга,
где Δ t – неопределенность момента времени перехода атома из одного стационарного состояния в другое. Поскольку Δ t не превышает среднее время жизни τ возбужденного состояния атома, минимальная неопределенность энергии возбужденных уровней, согласно (3), равна
Из (2) с учетом (4) найдем минимальную неопределенность длины волны излучения, которая называется естественной шириной спектральной линии
Если одно из состояний, между которыми совершается переход, является основным, то
поскольку для основного состояния τ = ∞. Для возбужденных состояний с одинаковым временем жизни τ п = τ к = τ имеем
Подставляя в (7) числовые значения, получим
Ответ: Δ λ min = 5, 2 ∙ 10-14 м. 4. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной l на втором энергетическом уровне. В каких точках ямы плотность вероятности обнаружения частицы совпадает с классической плотностью вероятности. Дано: l, wп = w∞ , n = 2. Найти: х. Решение. Волновая функция ψ, описывающая состояние частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной l, имеет вид
где n – номер энергетического уровня (n = 1, 2, 3, …), х – координата частицы в яме (0 ≤ х ≤ l). Согласно физическому смыслу волновой функции,
где w – плотность вероятности обнаружения частицыв точке с координатой x. Если частица находится на втором энергетическом уровне (n = 2), то
В соответствии с принципом соответствия Бора, выражение для классической плотности вероятности получается при n → ∞
Приравнивая по условию задачи выражение (3) к (4), получим
Решая уравнение (5), найдем
В пределах ямы (0 ≤ х ≤ l) таких точек четыре: Ответ: 5. Длина волны линии La вольфрама равна 0, 148 нм. Найти постоянную экранирования. Дано: λ = 1, 48 ∙ 10-10 м. Найти: а. Решение. В соответствии с законом Мозли
где R – постоянная Ридберга; Z – порядковый номер элемента (для вольфрама Z = 74); а – постоянная экранирования; n – номер энергетического уровня, на который переходит электрон (для L – серии n = 2), k - номер энергетического уровня, с которого переходит электрон (для La – линии k = 3). Из (1) находим
Подставляя числовые данные, получаем Ответ: а = 7, 4. 6. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра Решение. Дефект массы Δ m ядра определяется по формуле
где Z – зарядовое число, A – массовое число, mp – масса протона, mn – масса нейтрона, mя – масса ядра. Формулу (1) можно также записать в виде
где Из справочных таблиц находим:
Подставляя в (2) числовые данные (для
Δ m = 0, 13708 а. е. м.
Энергия связи ядра Есв определяется по формуле
где с – скорость света в вакууме. Если дефект массы Δ m выражать в а. е. м., а энергию связи Есв - в МэВ, то формула (3) принимает вид
Подставляя в (4) числовые значения, получим Удельная энергия связи ε св вычисляется по формуле
Проводя вычисления, получим Ответ: Δ m = 0, 13708 а. е. м.; Есв = 128 МэВ; ε св = 8 МэВ. 7. Сколько атомов распадается в 1г трития Дано: m = 10-3 кг; t = τ. Найти: N’. Решение. Согласно закону радиоактивного распада
где N – число не распавшихся атомов в момент времени t, N0 – начальное число радиоактивных атомов в момент t = 0, λ – постоянная радиоактивного распада. Среднее время жизни τ радиоактивного изотопа – величина, обратная постоянной распада,
По условию t = τ. Подставляя в (1) вместо t значение τ из (2), получим
Число атомов, распавшихся за время t = τ, равно
Найдем число атомов N0, содержащихся в массе m = 1 г изотопа
где М = 3 ∙ 10-3 кг/моль – молярная масса изотопа Учитывая (5), запишем выражение (4) в виде
Подставляя в (6) числовые значения, получим Ответ: N’ = 1, 27 ∙ 1023. 8. На поверхность воды падает гамма – излучение с длиной волны 0, 414 пм.На какой глубине интенсивность излучения уменьшится в два раза? Дано: λ = 4, 14 ∙ 10-13 м; I0 / I = 2. Найти: х. Решение. Согласно закону поглощения гамма – излучения веществом
где I0 – интенсивность падающего излучения, I - интенсивность излучения на глубине х, μ – коэффициент линейного поглощения. Решая уравнение (1) относительно х, найдем
Для определения коэффициента линейного ослабления вычислим энергию ε гамма – фотонов:
где λ – длина волны излучения, h – постоянная Планка, с – скорость света в вакууме. Подставляя в (3) числовые значения, получим
По графику зависимости μ от ε (рис. 5) находим μ = 0, 04 см-1. Подставляя числовые значения в выражение (2), получим Ответ: х = 17, 3 см. 9. Вычислить энергию ядерной реакции Выделяется или поглощается энергия при этой реакции? Решение. Энергия ядерной реакции определяется по формуле
где m1 и m2 – массы частиц, вступающих в реакцию; Σ m’i – сумма масс частиц, образовавшихся в результате реакции. Если массу частиц выражать в а. е. м., а энергию реакции в МэВ, то формула (1) принимает вид
При вычислении энергии ядерной реакции можно использовать вместо масс их ядер массы атомов. Из справочных данных находим:
Дефект массы реакции равен
Подставляя значение дефекта массы реакции в (2), получим Q = 931 МэВ/а. е. м. ∙ (- 0, 01864 а. е. м) = - 17, 3 МэВ. Поскольку Q < 0, энергия в результате реакции поглощается. Ответ: Q = - 17, 3 МэВ. 10. Полоний имеет простую кубическую решетку. Постоянная решетки равна 0, 334 нм. Вычислить плотность полония. Дано: а = 3, 34 ∙ 10-10 м. Найти: ρ. Решение. Плотность полония можно вычислить по формуле
где m – масса атома полония, n – число атомов в единице объема. Полоний имеет простую кубическую решетку. Некоторые характеристики кубических решеток приведены в следующей таблице.
Обозначение решеток: ПК – простая кубическая; ОЦК – объемоцентрированная кубическая; ГЦК – гранецентрированная кубическая.
Из таблицы следует, что для простой кубической решетки
где а – постоянная решетки. Массу атома полония можно вычислить по формуле
где М – молярная масса полония, NA – число Авогадро. Подставляя (2) и (3) в (1), получим
Проводя вычисления, найдем Ответ: ρ = 9, 31 ∙ 103 кг/м3. 11. Молярная изохорная теплоемкость аргона при температуре 4 К равна 0, 174 Дж/(моль ∙ К). Определить значение молярной изохорной теплоемкости аргона при температуре 2 К. Дано: Т1 = 4 К; С1 = 0, 174 Дж/(моль∙ К); Т2 = 2 К. Найти: С2. Решение. Согласно теории Дебая, теплоемкость кристаллической решетки при низких температурах Т, когда Т < < θ D (квантовая область), где θ D – характеристическая температура Дебая, пропорциональна кубу термодинамической температуры,
где С – молярная изохорная теплоемкость, R – молярная газовая постоянная. При высоких температурах, когда Т > > θ D (классическая область), теплоемкость кристаллической решетки описывается законом Дюлонга и Пти
Поскольку при Т1 = 4 К теплоемкость аргона С1 = 0, 174 Дж/(моль∙ К) много меньше, чем
Отсюда
или
Подставляя в (5) числовые данные, получим Ответ: С2 = 0, 022 Дж/(моль ∙ К). 12. Дебаевская температура кристалла равна 150 К. Определить максимальную частоту колебаний кристаллической решетки. Сколько фононов такой частоты возбуждается в среднем в кристалле при температуре 300К? Дано: θ D = 150 К; Т = 300К. Найти: vmax, ‹ Ni ›. Решение. Дебаевская температура
где vmax – максимальная частота колебаний кристаллической решетки, h – постоянная Планка, k – постоянная Больцмана. Из (1) найдем
Подставляя в (2) числовые значения, получаем Среднее число фононов с энергией ε i:
где Т – термодинамическая температура кристалла. Энергия фонона, соответствующая частоте колебания vmax,
Подставляя (4) в (3), находим
Ответ: vmax = 3, 12 ∙ 1012 Гц; ‹ Ni › = 1, 54.
|