Тема 7.5 Эйлеровы и гамильтоновы графы.

Классической в теории графов является следующая задача. В городе Кенигсберге имеется два острова, соединенных семью мостами с берегами реки Преголь и друг с другом так, как показано на рисунке.

Задача состоит в следующем: осуществить прогулку по городу таким образом, чтобы, пройдя по одному разу по каждому мосту, вернуться обратно. Решение этой задачи сводится к нахождению некоторого специального маршрута в графе.

Пусть G – псевдограф.

Цепь (цикл) в G называется эйлеровой (эйлеровым), если она (он) проходит по одному разу через каждое ребро псевдографа G.

Поставим в соответствие схеме мультиграф G, изображенный на рисунке,

в котором каждой части суши соответствует вершина, а каждому мосту – ребро, соединяющее соответствующие вершины. На языке теории графов задача звучит следующим образом: найти эйлеров цикл в мультиграфе G.

Граф является эйлеровым, если он содержит эйлеров цикл.

Теорема. Связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда каждая вершина имеет четную локальную степень.

Теорема. Связный граф содержит эйлерову цепь тогда и только тогда, когда ровно две вершины имеют нечетную локальную степень.

Рассмотрим алгоритм построения эйлеровой цепи в данном эйлеровом графе. Этот метод известен под названием алгоритма Флёри.

Теорема. Пусть G – эйлеров граф; тогда следующая процедура всегда возможна и приводит к эйлеровой цепи графа G. Выходя из произвольной вершины и, идем по ребрам графа произвольным образом, соблюдая лишь следующие правила:

· стираем ребра по мере их прохождения и стираем также изолированные вершины, которые при этом образуются;

· на каждом этапе идем по мосту только тогда, когда нет других возможностей.

Любой простой полный граф с нечетным количеством вершин является эйлеровым. Любой циклический граф является эйлеровым. Граф, являющийся колесом, не является эйлеровым.

Критерий эйлеровости: Для того, чтобы граф являлся эйлеровым необходимо и достаточно, чтобы он был связным и все его вершины имели четную степень.

Цепь (цикл) в G называется гамильтоновой (гамильтоновыми), если она (он) проходит по одному разу через каждую вершину псевдографа G.

Граф является гамильтоновым, если он содержит гамильтонов цикл.

С понятием гамильтоновых циклов тесно связана так называемая задача коммивояжера: в нагруженном графе G определить гамильтонов цикл минимальной длины (иными словами, коммерсант должен совершить поездку по городам и вернуться обратно, побывав в каждом городе ровно один раз, и при этом стоимость такой поездки должна быть минимальной).

Приведем теорему Дирака, которая отвечает на вопрос: существует ли в графе гамильтонов цикл.

Теорема. Если в простом графе с n (³ 3) вершинами локальная степень каждой вершины не менее n/2, то граф является гамильтоновым.

Любой простой полный граф является гамильтоновым. Любой циклический граф является гамильтоновым. Граф, являющийся колесом, является гамильтоновым.

Критерии гамильтоновости:

1. любой полный граф является гамильтоновым

2. если в графе, кроме простого цикла, проходящего через все его вершины, содержатся и другие ребра, то граф является гамильтоновым.

3. если для любых двух вершин А и В графа с m вершинами выполняется: степень А + степень В ≤ m, то граф является гамильтоновым.

4. если граф с m вершинами и любая степень больше либо равна m/2, то граф является гамильтоновым.