Формулы и свойства логарифмов

Логарифм и его свойства. Виды логарифмов

• log_a b - логарифм числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
• lg b - десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a = 10).
• ln b - натуральный логарифм (логарифм по основанию e, a = e).

Формулы и свойства логарифмов

Для любых a; a > 0; a ≠ 1 и для любых x; y > 0.

1. a^log_a^b = b - основное логарифмическое тождество
2. log_a 1 = 0
3. log_a a = 1
4. log_a(x · y) = log_ax + log_ay
5. log_a xy = log_ax - log_ay
6. log_a 1x = -log_ax
7. log_a x^p = p log_ax
8. log_a^k x = 1k log_a x, при k ≠ 0
9. log_ax = log_a^c x^c
10. log_a x = log_b xlog_b a - формула перехода к новому основанию
11. log_a x = 1log_x a

9.Показательная функция, свойства и графики. В практике часто используются функции y=2x, y=10x, y=(12)x, y=(0, 1)x и т. д., т. е. функция вида y=ax, где a - заданное число, x - переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени - заданное число.

Функция, заданная формулой y=ax (где a> 0, a≠ 1 ), называется показательной функцией с основанием a.

Сформулируем основные свойства показательной функции:

1. Область определения - множество R действительных чисел.

2. Область значений - множество R+ всех положительных действительных чисел.

3. При a> 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0< a< 1 функция убывает на множестве R.

ax1< ax2, если x1< x2, (a> 1),

ax1> ax2, если x1< x2, (0< a< 1)

4. При любых действительных значениях x и y справедливы равенства

axay=ax+yaxay=ax− y(ab)x=axbx(ab)x=axbx(ax)y=axy

Графики показательных функций изображены на рисунках:

1) для случая a> 1

2) для случая 0< a< 1

Построим графики функций y=2x и y=(12)x, использовав рассмотренные свойства и найдя несколько точек, принадлежащих графику.

Пример:

Отметим, что график функции y=2x проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Ox

Если x< 0 и убывает, то график быстро приближается к оси Ox (но не пересекает ее);

если x> 0 и возрастает, то график быстро поднимается вверх.

Такой вид имеет график любой функции y=ax, если a> 1

Пример:

График функции y=(12)x также проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Ox

Если x> 0 и возрастает, то график быстро приближается к оси Ox (не пересекая ее);

если x< 0 и убывает, то график быстро поднимается вверх.

Такой же вид имеет график любой функции y=ax, если 0< a< 1.

10.Логарифмическая функция, ее свойства и графики. Функцию, заданную формулой y=logax, называют логарифмической функцией с основанием a.

(a> 0, a≠ 1)

Основные свойства логарифмической функции:

1. Область определения логарифмической функции - множество всех положительных чисел.

D(f)=(0; +∞);

2. Множество значений логарифмической функции - множество R всех действительных чисел.

E(f)=(− ∞; +∞);

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при a> 1 или убывает

при 0< a< 1.

Обрати внимание!

Логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной;
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
не ограничена сверху, не ограничена снизу;

График любой логарифмической функции y=logax проходит через точку (1; 0).

Построим графики двух функций

Пример:

1. y=log2x, основание 2> 1

Пример:

2. y=log13x основание 0< 13< 1

Логарифмическая функция y=logax и показательная функция y=ax, где (a> 0, a≠ 1), взаимно обратны.

11.Показательные уравнения и их решения. Что такое показательное уравнение? Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся в показателях каких-то степеней. И только там! Это важно.

Вот вам примеры показательных уравнений:

5^х+2 = 125

3^х·2^х = 8^х+3

3^2х+4·3^х-5 = 0

Ну, и так далее.

Обратите внимание! В основаниях степеней (внизу) - только числа. В показателях степеней (вверху) - самые разнообразные выражения с иксом. Если, вдруг, в уравнении вылезет икс где-нибудь, кроме показателя, например:

2^х = 3+х,

это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Здесь мы будем разбираться с решением показательных уравнений в чистом виде.

Вообще-то, даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не всегда. Но существуют определённые типы показательных уравнений, которые решать можно и нужно. Вот эти типы мы и рассмотрим.

12.Логарифмические уравнения и их решения. Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^b.

Пример 1. Решить уравнения:

a) log₂ x = 3, b) log₃ x = -1, c)

Решение. Используя утверждение 1, получим
a) x = 2³ или x = 8; b) x = 3^-1 или x = ¹/₃; c) или x = 1.

13.Призма и его свойства. Площадь поверхности и объем. Свойства призмы[

· Основания призмы являются равными многоугольниками.

· Боковые грани призмы являются параллелограммами.

· Боковые ребра призмы параллельны и равны.

· Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

· Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.

· Площадь боковой поверхности произвольной призмы , где — периметр перпендикулярного сечения, — длина бокового ребра.

· Площадь боковой поверхности прямой призмы , где — периметр основания призмы, — высота призмы.

· Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.

· Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.

· Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.

Формула объема призмы:   V = Soh где V - объем призмы, So - площадь основания призмы, h - высота призмы.