Числа Стирлинга

, n=1, 2, 3… - Производящая функция.

Полагают, что

Эту производящую функцию назвали производящей многочлен степени n. .

Раскроем скобки в правой части через

Что бы формула была справедлива, полагают, что: (); (); ()

Коэффициент при , то есть числа и назвали числами Стирлинга первого рода.

Выразим различные степени переменной t через факториальные многочлены.

Любую степень числа t можно записать

(); (); () Полагают для удобства, симметрия чисел Стирлинга

Числа по факториальным разложениям многочлена назвали числами Стирлинга второго рода.

Рассмотрим рекурсивное соотношение для чисел Стирлинга из (1) следует, что (4)

Воспользуемся формулой (2) и получим:

Коэффициент приравняем при степени k, получим:

то есть получим рекуррентное соотношение для чисел Стирлинга первого рода.

Коэффициент в правой части в выражении 6 получены из (5a)