Алгебра Кантора. Законы алгебры Кантора

Алгебра Кантора: < B(I), U, I, –>. Носителем ее является булеан универсального множества I, сигнатурой – операции объединения U, пересечения I и дополнения –[9].

Для операций алгебры Кантора выполняются следующие законы:

1) коммутативности объединения и пересечения:

М_аUМ_b=М_bUМ_а, М_аIМ_b=М_bIМ_а;

2) ассоциативности объединения и пересечения:

М_аU(М_b U М_с)=(М_аUМ_b)UМ_с, М_аI(М_bIМ_с)=(М_аIМ_b)IМ_с;

3) дистрибутивности пересечения относительно объединения и объединения относительно пересечения:

М_аI(М_bUМ_с)=(М_аIМ_b)U(М_аIМ_с),

М_аU(М_bIМ_с)=(М_аUМ_b)I(М_аUМ_с),

причем последнее соотношение не имеет аналога в обычной алгебре;

4) идемпотентности объединения и пересечения:

М_аUМ_а=М_а, М_аIМ_а=М_а,

поэтому в алгебре Кантора нет ни степеней, ни коэффициентов;

5) де Моргана:

, ;

6) двойного дополнения:

.

Выполнимы также следующие действия с универсальным I и пустым Æ множествами:

7) МUÆ =М, МIÆ =Æ, МUI=I, МII=М, , .

Все эти соотношения могут быть доказаны с использованием кругов Эйлера. Видны двойственность соотношений: они справедливы как относительно объединения, так и относительно пересечения.

Рассмотрим дополнительные законы:

8) склеивания:

9) поглощения:

МU(МIА)=М;

10) Порецкого – по фамилии российского логика, математика и астронома, профессора Казанского университета Платона Сергеевича Порецкого (1846-1907 гг.):

.

Алгебра Кантора по аддитивной операции объединения и мультипликативной операции пересечения является абелевой полугруппой, так как для этих операций выполняются законы коммутативности и ассоциативности, но она не является группой, поскольку уравнения М_аUХ=М_b, М_аIХ=М_b не имеют решения, например, для случая, когда множества не пересекаются: М_аIМ_b=Æ [9]. Поэтому алгебра Кантора по двухместным операциям I и U не является кольцом. Эта алгебра принадлежит к другому классу фундаментальных алгебр – к классу решеток.