Двоичная система счисления.

В двоичной системе счисления основание 2: используется только два символа: 0, 1. Поэтому арифметика очень простая: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10 (0 и перенос в следующий разряд). Запись 11011, 101 некоторого двоичного числа соответствует следующему десятичному числу: 1·2⁴+ 1·2³+0·2²+ 1·2¹+ 1·2⁰, 1·2^-1+0·2^-2+1·2^-3=27, 625.

Такое представление числа называется представлением с фиксированной запятой. Запятая фиксирована в соответствующей аппаратуре (арифметико-логическом устройстве АЛУ). Часто числа представлялись в виде дробей, поэтому как исходные данные, так и результаты решения задач должны были представляться именно так. Для этого проводили масштабирование – выбирали масштабные коэффициенты. Неправильный выбор масштабных коэффициентов мог вызвать так называемое переполнение разрядной сетки – ошибку в виде образования целой части, для которой в разрядной сетке нет места, и она теряется.

Рассмотрим, как выполняется двоичное суммирование:

Пусть необходимо сложить два двоичных числа 101 и 11:

Двоичное вычитание, например, (10-6 в десятичном коде) выглядит следующим образом:

Для выполнения такой операции необходим специальный «вычитатель», поэтому вычитание заменяют сложением числа в так называемом обратном коде, когда разряды вычитаемого инверсируют:

При этом образуется перенос 1, который необходимо сложить с промежуточным результатом 0011:

таким образом, получаем ответ 0100 (10-6=4 в десятичном коде).

Для операций в обратном коде необходим специальный сумматор с так называемым циклическим переносом, обеспечивающим сложение переноса с промежуточным результатом. Это неудобно, поэтому применяют так называемый дополнительный код, который устраняет циклический перенос. Представим десятичное число –6 в двоичном дополнительном коде (то есть, заменяем операцию 10-6 на операцию 10+ (–6), числа здесь в десятичном коде): –6 десятичное это –0110 двоичное, в обратном коде 1001, да еще прибавляем единицу (таковы правила образования дополнительного кода):

таким образом, дополнительный двоичный код десятичного числа –6 равен 1 010. Здесь старший подчеркнутый разряд это знак, знаковый разряд. Тогда операция вычитания выглядит так:

перенос, возникающий в этом случае, просто отбрасывается, получаем 0100 (4 десятичное). Поэтому при аппаратной реализации вычитания может быть использован обычный сумматор.

Дополнительные коды четырехразрядных двоичных чисел показаны в табл. 65.

Таблица 65

Дополнительные коды

Таким образом, в формате из четырех разрядов представимы числа в диапазоне –7+7 (2³ -1).

При использовании байта с фиксированной запятой представляют целые числа в диапазоне –127+127 (2⁷ –1).

В общем случае n бит могут кодировать 2ⁿ объектов.

Перевод чисел из десятичной в двоичную систему счисления выполняют, например, путем деления на основание системы счисления – 2, и записывают соответствующие остатки, либо подбирают соответствующие степени числа 2.

Пример. Дано десятичное число 38, ближайшая степень числа 2 – это число 32, т.е. 2⁵, остается еще 6, ближайшая степень числа 2 – это 4, т.е. 2², остается 2, это 2¹. Таким образом:

0× 2⁷+0× 2⁶+1× 2⁵+0× 2⁴+0× 2³+1× 2²+1× 2¹+0× 2⁰=100110.