Этапы обработки результатов прямых многократных измерений

ЛЕКЦИЯ № 9

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЙ. ПОСТУЛАТ МЕТРОЛОГИИ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ. ГИСТОГРАММА. ПОЛИГОН

Цель лекции: изучение основ теории измерений, постулата метрологии

План лекции:

1 Равноточные измерения

2 Этапы обработки результатов прямых многократных измерений

3 Идентификация формы распределения результатов измерений

4 Обработка результатов измерений, содержащих случайные погрешности

5 Оценка результатов измерений

6 Погрешности среднеарифметического

Литература:

1. Метрология. Сергеев А.Г., Крохин В.В., М., Логос, 2002.

2. Основы стандартизации, сертификации, метрологии. Крылова Г.Д., М., Юнити, 2007.

Равноточные измерения

Равноточными называются измерения, которые проводятся средствами измерений одинаковой точности по одной и той же методике при неизменных внешних условиях.

При равноточных измерениях среднеквадратичные отклонения результатов всех рядов измерений равны между собой.

Проверка допустимости различия между оценками дисперсий нормально распределенных результатов измерений выполняется с помощью критерия Р.Фишера при наличии двух групп наблюдений и критерия М.Бартлетта, если групп больше.

Задача обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение.

Исходной информацией для обработки является ряд из п (п > 4) измерений х ₁, х ₂, х ₃, …, х_п, из которых исключены известные систематические погрешности, – выборка. Число п зависит как от требований к точности получаемого результата, так и от реальной возможности выполнять повторные измерения.

Этапы обработки результатов прямых многократных измерений

Последовательность обработки результатов прямых многократных измерений состоит из ряда этапов.

1. Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений.

На этом этапе определяются:

- среднее арифметическое значение измеряемой величины;

- среднеквадратичное отклонение результата измерения ;

- среднеквадратичное отклонение среднего арифметического значения .

2. Определение закона распределения результатов измерений или случайных погрешностей измерений.

В последнем случае от выборки результатов измерений х₁, х₂, х₃, …, х_п переходят к выборке отклонений от среднего арифметического Dх₁, Dх₂, Dх₃, …, Dх_п, где .

Первым шагом при идентификации закона распределения являемся построение по исправленным результатам измерений , где i = 1, 2, 3, …, п вариационного ряда (упорядоченной выборки), а также , где и . В вариационном ряду результаты измерений располагают в порядке возрастания. Далее этот ряд разбивается на оптимальное число т, как правило, одинаковых интервалов группирования длиной .

Оптимальным является такое число интервалов т, при котором возможное максимальное сглаживание случайных флуктуаций данных сопровождается с минимальным искажением от сглаживания самой кривой искомого распределения.

Далее определяют интервалы группирования экспериментальных данных в виде ; ; …; ; и подсчитывают число попаданий n_k (частоты) результатов измерений в каждый интервал группирования. Сумма этих чисел должна равняться числу измерений. По полученным значениям рассчитывают вероятности попадания результатов измерений (частости) в каждый из интервалов группирования по формуле , где k = 1, 2, …, т.

Приведенные расчеты позволяют построить гистограмму, полигон и кумулятивную кривую.

Для построения гистограммы по оси результатов наблюдений х (рисунок 1) откладываются интервалы D _k в порядке возрастания номеров и на каждом интервале строится прямоугольник высотой р_k. Площадь, заключенная под графиком, пропорциональна числу наблюдений п.

Полигон представляет собой ломаную кривую, соединяющую середины верхних оснований каждого столбца гистограммы (рисунок 1).

Рисунок 1. Гистограмма и полигон

Кумулятивная кривая - это график статистической функции распределения (рисунок 2).

Рисунок 2. Кумулятивная кривая

Для ее построения по оси результатов наблюдений х (рисунок 2) откладываются интервалы D_k в порядке возрастания номеров и на каждом интервале строится прямоугольник высотой

.

Значение F_k называется кумулятивной частностью, а сумма n_k – кумулятивной частотой.

3. Оценка закона распределения по статистическим критериям.

При числе наблюдений п > 50 для идентификации закона распределения используется критерий Пирсона (хи-квадрат) или критерий Мизеса–Смирнова. При 50 > п > 15 для проверки нормальности закона распределения применяется составной критерий (d-критерий). При п < 15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.

4. Определение доверительных границ случайной погрешности.

Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находят квантильный множитель z_p при заданном значении доверительной вероятности Р. В этом случае доверительные границы случайной погрешности .

5. Определение границ неисключенной систематической погрешности q результата измерений.

Под этими границами понимают найденные нестатистическими методами границы интервала, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность. Она образуется из ряда составляющих: как правило, погрешностей метода и средств измерений, а также субъективной погрешности. Границы неисключенной систематической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы. Они суммируются по определенным правилам. Доверительная вероятность при определении границ q принимается равной доверительной вероятности, используемой при нахождении границ случайной погрешности.

6. Определение доверительных границ погрешности q результата измерения D_р.

Данная операция осуществляется путем суммирования среднеквадратичного отклонения случайной составляющей и границ неисключенной систематической составляющей q в зависимости от соотношения .

7. Запись результата измерения.

Результат измерения записывается в виде при доверительной вероятности . При отсутствии данных о виде функции распределения составляющих погрешности результаты измерений представляются в виде , , п, q при доверительной вероятности.