Где y - const, x - величина переменного фактора.

В качестве примера производственной функции с одним переменным фактором можно привести производство фермером какого-либо продукта. Все факторы производства, такие как величина земельных угодий, наличие у фермера сельскохозяйственной техники, посевного материала, количество труда, вложенного в производство продукта, остаются из года в год постоянной величиной. Меняется только один фактор - количество применяемых удобрений. В зависимости от этого изменяется величина получаемого продукта. Вначале, с ростом переменного фактора, она увеличивается достаточно быстро, затем рост общего продукта замедляется, а начиная с определенных объемов применяемых удобрений, величина получаемого продукта начинает убывать. Дальнейшее увеличение переменного фактора не дает увеличения продукта.

Прежде чем перейти к более строгому анализу производственной функции с одним переменным фактором, необходимо ввести понятия общего, среднего и предельного продуктов.

Общий продукт (TP) - это общее количество произведенного продукта, которое изменяется по мере увеличения использования переменного фактора.

Средний продукт (AP) - это отношение общего продукта к количеству использованного в производстве переменного фактора:

AP =^TP/_x.

Предельный продукт (MP) - это количество дополнительного продукта, полученное при использовании дополнительной единицы переменного ресурса:

MP = ^TP/ _x.

Дадим графическую интерпретацию функции с одним переменным фактором (рис.65).

В верхней части рисунка (а) изображена кривая общего продукта TP, который изменяется в зависимости от величины переменного фактора x.

Hа кривой TP отмечены три точки: B - точка перегиба, C - точка, которая принадлежит касательной, совпадающей с линией соединяющей данную точку с началом координат, D - точка максимального значения TP. Точка A движется по кривой TP. Соединив точку A с началом координат, получим линию OA. Опустив перпендикуляр из точки A на ось абсцисс, получим треугольник OAM, где tg есть отношение стороны AM к OM, то есть выражение среднего продукта:

AP = tg =^AM/_OM =^AM/_OM.

Проведя через точку A касательную, получим угол , тангенс которого будет выражать предельный продукт MP, так как это есть приращение общего продукта при бесконечно малом приращении переменного фактора:

MP = tg =^AM/_LM = ^TP/ _x.

При сравнении двух треугольников LAM и OAM видно, что до определенного момента tg по величине больше tg , следовательно, предельный продукт (MP) больше среднего продукта (AP). Когда точка A совпадает с точкой B, tg принимает максимальное значение, следовательно предельный продукт (MP) достигает наибольшей величины. Когда точка A совпадает с точкой C значения среднего и предельного продуктов равны. При дальнейшем увеличении фактора x, tg будет уменьшаться и при совпадении точки A с точкой D примет значение равное 0. Далее общий продукт будет уменьшаться, а предельный продукт примет отрицательное значение. Особенно наглядно это видно на нижней части графика (б). Предельный продукт (MP), достигнув максимального значения в точке B, постепенно начинает убывать и в точке C пересечется с графиком среднего продукта (AP), который в этой точке принимает максимальное значение. Далее видно, что убывает и предельный продукт, и средний, но предельный продукт более быстрыми темпами. В точке максимума общего продукта (TP) предельный продукт (MP) равен 0.

Из проведенного анализа можно сделать вывод, что наиболее эффективное использование переменного фактора (x) происходит на отрезке от точки B до точки C. Здесь предельный продукт (MP), достигнув своего максимального значения, начинает убывать, а средний продукт (AP) еще возрастает. Именно на этом отрезке на каждую дополнительную единицу затраченного переменного фактора производитель получает наибольший прирост общего продукта.

После того, как средний продукт достигает своего максимального значения, эффективность увеличения переменного фактора в производстве снижается. Участок кривой общего продукта (TP) после точки C показывает более низкую эффективность использования переменного фактора.

В реальной жизни действие производственной функции с одним переменным фактором можно проиллюстрировать тем же примером с фермером. Допустим, если фермер будет бесконечно увеличивать применение минеральных удобрений на своем участке, то он все равно не соберет такого урожая, который накормит всю страну. Если в качестве переменного фактора взять, например, сельскохозяйственные механизмы и увеличивать их количество при обработке одного участка, то достаточно быстро наступит предел, когда общий продукт перестанет возрастать, а избыток механизмов будет мешать нормальной обработке участка.

Рассмотрим вариант, когда переменными являются два фактора производства, которые при определенном сочетании дают в результате один объем производимого продукта. Возьмем, например, затраты труда и капитала при производстве обуви. Затраты труда обозначим за X, затраты капитала - через Y. При определенной комбинации этих двух факторов может быть произведено 200 пар обуви (Q = 200). Изменение капитала и труда может происходить в обратном направлении. Если количество капитала (применяемого оборудования) увеличивается, то, следовательно, применение живого труда - уменьшается. При этом возрастание одного фактора и уменьшение другого происходят таким образом, что общий объем производства остается на прежнем уровне.

Эту зависимость можно представить графически с использованием изокванты.

Изокванта, или кривая равного продукта, отражает все возможные комбинации двух факторов, которые могут быть использованы для производства определенного объема продукта.

С увеличением объемов используемых переменных факторов, возникает возможность выпуска большего объема продукции. Изокванта, отражающая производство большего объема продукта, будет расположена правее и выше предыдущей изокванты.

Количество использованных факторов x и y может постоянно меняться, соответственно будет уменьшаться или увеличиваться максимальный выпуск продукта. Следовательно, может возникнуть множество изоквант, соответствующих разным объемам выпускаемой продукции, которые образуют карту изоквант.

Изокванты являются подобием кривых безразличия с той лишь разницей, что они отражают ситуацию не в сфере потребления, а в сфере производства. То есть изокванты обладают свойствами, близкими кривым безразличия.

Отрицательный наклон изоквант объясняется тем, что увеличение использования одного фактора при определенном объеме выпуска продукта всегда будет сопровождаться уменьшением количества другого фактора.

Предельная норма технологического замещения измеряется соотношением изменения фактора y к изменению фактора x. Поскольку замена факторов происходит в обратном отношении, то математическое выражение показателя MRTS_{x, y} берется со знаком минус:

MRTS_{x, y} = - ^y/ _x

Если мы возьмем какую-либо точку на изокванте, например, точку A (рис.68) и проведем к ней касательную KM, то тангенс угла даст нам значение MRTS_{x, y}:

MRTS_{x, y} = tg .

Можно отметить, что в верхней части изокванты угол будет достаточно велик, что говорит о том, что для изменения фактора x на единицу требуются значительные изменения фактора y. Следовательно, в этой части кривой значение MRTS_{x, y} будет велико.

По мере движения вниз по изокванте значение предельной нормы технологического замещения будет постепенно убывать. Это означает, что для увеличения фактора x на единицу потребуется незначительное уменьшение фактора y.

В реальных производственных процессах встречается два исключительных случая в конфигурации изоквант. Это ситуация, когда два переменных фактора идеально взаимозаменяемы, и случай, когда они жестко взаимодополняют друг друга. В первом случае при полной заменяемости факторов производства MRTS_{x, y} = const.

В ситуации с жесткой дополняемостью факторов предельная норма технологического замещения будет равна 0 (MRTS_{x, y} = 0).

Для укрупненного анализа и прогнозирования используется производственная функция, называемая функцией Кобба-Дугласа:

Q = k · K · L · M

где Q - максимальный объем продукта при заданных факторах производства;

K, L, M - соответственно затраты капитала, труда, материалов;

k - коэффициент пропорциональности, или масштабности;

, , , - показатели эластичности объема производства соответственно по капиталу, труду и материалам, или коэффициенты прироста Q, приходящиеся на 1% прироста соответствующего фактора :

+ + = 1

Несмотря на то, что для производства конкретного продукта требуется сочетание разных факторов, производственная функция обладает рядом общих свойств.

Во-первых, факторы производства являются взаимодополняющими. Это означает, что данный процесс производства возможен только при наборе определенных факторов. Hапример, для того, чтобы произвести обувь, необходимо помещение, специальное оборудование, сырье и труд рабочих. Отсутствие одного из перечисленных факторов сделает невозможным производство запланированного продукта.

Во-вторых, существует определенная взаимозаменяемость факторов. В процессе производства один фактор может быть заменен в определенной пропорции другим. Hапример, при производстве обуви мы можем заменить один материал другим, определенное оборудование - ручным трудом. Взаимозаменяемость не означает возможности полного исключения из производственного процесса какого-либо фактора. В любом случае необходима земля, на которой будет организован процесс производства, какое-либо оборудование и труд работников.