Плоскость в пространстве.

В декартовой системе координат каждая плоскость определяется уравнением первой степени относительно переменных x, y, z, и обратно: каждое уравнение первой степени относительно переменных x, y, z определяет плоскость.

Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется её нормальным вектором.

Пусть Р – плоскость, – точка, принадлежащая этой плоскости, а – нормальный вектор плоскости Р. Уравнение вида

называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку в заданном направлении.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки , , имеет вид:

Уравнение плоскости в отрезках на осях имеет вид:

где a, b, c - это величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат (соответственно абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями Ox, Oy и Oz.)

Угол между двумя пересекающимися плоскостями и равен углу между их нормальными векторами и вычисляется по формуле:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Плоскость в пространстве. Стр.1

Условие параллельности двух плоскостей:

Условие перпендикулярности двух плоскостей: .

Расстояние от точки до плоскости Аx+Вy+Сz+D=0 вычисляется по формуле:

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(2; 3; 5) и перпендикулярной вектору .

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору: 4(х-2)+3(у-3)+2(z-5)=0. Раскрыв скобки, получим: 4х+3у+2z-27=0.

Пример 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M (2; 3; –1) параллельно плоскости 5х-3у+2z-10=0.

Решение. Нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным вектором данной плоскости . Следовательно, уравнение искомой плоскости имеет вид: 5(х-2)-3(у-3)+2(z+1)=0 или 5х-3у+2z+1=0

Пример 3. Определить, при каких значениях l и m плоскости 2х+ly+3z-5=0 и mx-6y-6z+2=0 будут параллельны.

Решение. Применим условие параллельности плоскостей: Из данных уравнений плоскостей находим: , . Тогда или . Следовательно, и . Значит,

Пример 4. Определить, при каком значении l плоскости 3x+5y+lz-5=0, x-3y+2z+5=0

будут перпендикулярны.

Решение. Из данных уравнений плоскостей находим: , .Используя условие перпендикулярности плоскостей, получим:

Пример 5. Определить расстояние от точки M ₀(3; 5; –8) до плоскости 6x-3y+2z-28=0.

Решение.

Пример 6. Найти расстояние между параллельными плоскостями: x-2y-2z-12=0 и x-2y-2z-6=0.

Решение. На первой плоскости выберем произвольную точку М _о и найдём расстояние от этой точки до второй плоскости.

Пусть абсцисса и ордината точки М _о x=0 и y=0; тогда, подставив эти значения в уравнение первой плоскости, получим z=-6, т.е. . Тогда

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Плоскость в пространстве. Стр.2

Пример 7. Построить в системе координат плоскости, соответствующие следующим уравнениям: а) ; б) ; в) .

Решение. а) Представим данное уравнение в виде уравнения плоскости в отрезках на осях: x+2y+3z=6 . Значит,

б) Т.к. С=0, то данная плоскость параллельна оси Oz. При этом уравнение в отрезках на осях имеет вид . Следовательно,

в) Т.к. В=С=0, то данная плоскость параллельна плоскости Oуz. При этом уравнение в отрезках на осях имеет вид . Следовательно,