![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Системы счисления, методы перевода и формы представления чисел
Для отображения количественных характеристик описываемых объектов и последующей обработки этой информации были изобретены специальные знаки (цифры) и приемы их комбинирования. Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел с помощью цифр. В любой системе имеется ряд символов, называемых базисными цифрами; все остальные числа отображаются с помощью базисных цифр посредством определенных математических операций. Системы счисления различаются набором базисных цифр, правилами образования из них чисел и выделяются два больших класса – непозиционные и позиционные. В непозиционных системах значение цифры не зависит от места, занимаемого ею в записи числа. Примером может служить римская системы счисления, в которой в качестве цифр используются латинские буквы I, V, X, L, C, D, M в любой позиции обозначающие соответственно 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. В позиционных системах счисления значение любой базисной цифры зависит от ее места в записи числа, называемой позицией, а количество используемых базовых цифр – основанием системы счисления. Привычной является индо-арабская десятичная системы счисления, в которой для записи любого числа используется 10 базисных цифр (от 0 до 9). Эта система основана на том, что десять цифр каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда. Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 5557 – число, записанное в семеричной системе счисления. Число записанное в десятичной системе, основание не указывается. Произвольное число Х в системе с основанием Р может быть представлено как X=anPn+an-1Pn-1+…+a1P1+a0P0+a-1P-1+…+a-mP-m+…, где ai - цифры в представлении данного числа. Так, например, 103510 = 1*103+0*102+3*101+5*100; 10102 = 1*23+0*22+1*21+0*20 = 10. Все позиционные системы счисления принципиально ничем не отличаются от привычной нам десятичной и обладают существенными преимуществами перед непозиционными: - в них любое целое число записывается с помощью некоторых символов, каждый из которых в зависимости от занимаемого места имеет разное значение: в одном случае он означает число сотен, в другом – число десятков. - в позиционных системах правила выполнения арифметических операций намного проще, всегда осуществляются по одной и той же схеме и требуют знания таблиц сложения и умножения только однозначных чисел. Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. В 1673 г. Лейбниц предложил использовать двоичную систему в качестве универсального логического языка, удобную систему, позволяющая использовать очевидные технические и математические преимущества: - аппаратная реализации позволяет применять физические элементы в 2-х возможных состояниях; - представление информации с помощью только двух состояний особенно надежно и помехоустойчиво; - возможно применение стандартного аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований; - двоичная арифметика проще десятичной. В двоичной системы счисления для отображения числа используются только два символа: 0 и 1, называемые двоичными цифрами. Произвольное число Х в этой системе представляется суммой an*2n+an-1*2n-1+…+a1*21+a-1*2-1+…+a-m*2-m+…, где каждый коэффициент ai равен 0 или 1. Запись числа в двоичном виде намного длиннее его записи в десятичной системе счисления. Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе, подчиняются правилам, что и в десятичной, перенос единиц в старший разряд возникает чаще. Таблица умножения: 0*0=0; 0*1=0; 1*0=0; 1*1=1. Таблица сложения в двоичной системе: 0+0=0; 0+1=1; 1+0=0; 1+1=0 (перенос единицы в старший разряд). В восьмеричной системы счисления базисными числами являются 0, 1, 2,, 3, 4, 5, 6, 7. Например, десятичное число 85 в восьмеричной системе равно 125, т.к. 85 = 1*82 + 2*81 + 5. В информатике чаще применяют компактную шестнадцатеричную систему, где для записи чисел используют десять арабских цифр (от 0 до 9) и шесть первых букв латинского алфавита (A, B, C, D, E, F,). Например, десятичное число 191, 5 в этой системе будет записано в виде BF.8; действительно, 11*161+15*160+8*16-1=176+15+8/16=191, 5. Перевод двоичных чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы. Компьютеры для выполнения арифметических и логических операций, хранения команд и данных используют двоичную систему. Системы счисления с основанием 8 и 16 применяют для более компактной двоичной записи и при некоторых специальных форматах представления чисел (таблица 2.1). Таблица 2.1 Таблица двоичных и шестнадцатиричных кодов
Одна из важных задач информатики – измерение объема информации, представленной в электронной форме. Элементарной единицей представления данных в ЭВМ является 1 двоичный разряд, называемый битом (bit, b inary digi t - двоичная цифра). Элементарной единицей обработки информации является байт, равный 8 битам (не считая служебных битов). Если 1 бит информации позволяет выбрать один вариант из 2-х возможных, то 1 байт 1 из 256 (28). Так как традиционные таблицы кодировки символов содержат 256 элементов, то 1 байт можно считать равным 1 символьной информации, что позволяет связать измерение информации в двоичных разрядах с привычным ее измерением через количество символов текста. Более крупная единица измерения информации – 1 Кбайт = 210 байт = 1024 байт. В килобайтах измеряют сравнительно небольшие объемы данных; нередко возникает потребность в более крупных единицах измерения (таблица 2.2). Таблица 2.2 Единицы измерения информации
|