ТЕМА 13. Графічний метод.

Поняття статистичного графіка. Статистичний графік як спосіб наочного подання та викладення статистичної інформації. Притаманні риси та специфічні особливості графічної мови. Предмет зображення у статистичних графіків та їх відмінність від інших графічних зображень.

Основні елементи статистичних графіків. Геометричні площинні знаки (крапки, лінії, площини, фігури, їх різні комбінації) для графічних зображень (площинних та об’ємних). Складові елементи площинних графічних зображень6 поле графіка, графічний образ, просторові та масштабні орієнтири, експлікація графіка.

Класифікація графіків. Ознаки класифікації статистичних графіків. Різновиди статистичних графіків за класифікаційними ознаками.

Графіки рядів розподілу. Основна мета і завдання графічного зображення розподілу. Побудова графіків розподілу за номінальною ознакою: одностовпчикові (однострічкові) та багатостовпчикові (багатострічкові) діаграми; серійні багатостовпчикові (багатострічкові) та компонентні діаграми графічного зображення комбінаційних рядів розподілу; секторні діаграми. Графіки варіаційних рядів розподілу. Зображення дискретних рядів розподілу у вигляді полігону. Діаграма площин – гістограма- графічного зображення інтервальних рядів розподілу з рівними та нерівними інтервалами. Графічне визначення моди на основі гістограми рядів з рівними інтервалами. Графічне зображення комбінаційних розподілів за допомогою двобічної гістограми. Використання полігону розподілу для графічного порівняння інтервальних рядів розподілу Кумулятивні діаграми для графічного порівняння розподілів з рівними та нерівними інтервалами. Різновиди кумулятивних діаграм: огіва, крива концентрації Лоренца.

Графіки динаміки. Лінійна діаграма як основний вид графічного зображення рядів динаміки. Вибір співвідношення масштабів. Широкі та високі лінійні діаграми. Різновиди лінійних діаграм, способи їх побудови. Шарові діаграми. Радіальні діаграми: замкнуті та спіральні. Стовпчикові і стрічкові діаграми. Кругові та квадратні діаграми.

Графіки порівняння. Різновиди діаграм, які використовують для графічного зображення порівняння статистичних показників, які відносяться до різних об’єктів або територій.

2. Методичні вказівки до виконання контрольної роботи

Для вирішення задачі № 1 необхідно вивчити тему “Статистичні показники”. Задача передбачає перерахунок декількох різновидів металопродукції або видів палива в умовно-натуральні одиниці вимірювання за допомогою спеціальних коефіцієнтів сумірництва (перерахунку) в умовні одиниці. Роль загальної міри, еталону для розрахунків і порівнянь виконує один різновид. Перерахунок в умовні одиниці можна зобразити так:

,

де У – обсяг умовних одиниць;

С – обсяг різновиду, прийнятого за еталон;

К – коефіцієнт перерахунку нееталонних властивостей в еталонні;

Х – кількість елементів сукупності, які відрізняються від еталонних.

Для задачі про металопродукцію коефіцієнти перерахунку наведено в умові. Для перерахунку обсягу видобутку палива в умовні одиниці калорійні коефіцієнти необхідно розрахувати як відношення теплотворної спроможності певного палива та теплотворної спроможності 7000 Дж, прийнятої за еталон.

Виходячи з обсягів виробництва металопродукції та видобутку палива в натуральних одиницях вимірювання, визначають відносні величини виконання плану по кожному виду металопродукції

,

де - відповідно обсяги виробництва металопродукції і -виду фактично та за планом;

та відносні величини динаміки по кожному виду палива

,

де - відповідно обсяги видобутку палива і -виду у звітному та базовому періодах.

Виходячи з обсягів металопродукції та обсягів видобутку палива в умовно-натуральних одиницях вимірювання, необхідно визначити:

1) виконання плану виробництва металопродукції та динаміку обсягів видобутку палива в цілому по підприємству

,

,

де - відповідно фактичний та запланований обсяги виробництва металопродукції в цілому по підприємству в умовно-натуральних одиницях вимірювання;

- відповідно обсяги видобутку палива у звітному та базовому періодах, визначені в умовно-натуральних одиницях вимірювання;

2) структуру виробництва металопродукції за планом і фактично та структуру видобутку палива у базовому та звітному періодах

,

,

,

.

Для рішення задачі № 2 необхідно вивчити тему “Зведення та групування статистичних даних”.

Групування – це розподіл елементів сукупності на групи за істотними ознаками. Виділяють структурні, типологічні та аналітичні групування.

За допомогою аналітичного групування виявляють взаємозв’язки між двома та більше ознаками, з яких одна представляє результат (результативна ознака у), а інша – фактор, що впливає на результат (факторна ознака х).

Аналітичні групування виконують за факторною ознакою.

Кількість груп, на які необхідно розділити статистичну сукупність, визначають за допомогою формули Стреджеса або задають в умові задачі.

Первинний ряд бажано упорядкувати за величиною факторної ознаки шляхом ранжування (розміщення усіх значень ознаки у напрямку зростання чи спаду).

При формуванні меж інтервалів за умови, що вони повинні бути рівними, необхідно визначити крок (ширину) інтервалу за формулою

,

де – відповідно максимальне і мінімальне значення ознаки;

m – число груп.

До інтервалу включають елементи, значення групувальної ознаки у яких більші нижньої та рівні або менші верхньої межі даного інтервалу.

У кожній групі визначають кількість підприємств, обсяг факторної та результатвної ознак, їх середній рівень, рівень фондовіддачі.

Обов’язковим є визначення загальних підсумків по сукупності заводів.

Результати рішення задачі повинні бути викладені у вигляді групової статистичної таблиці та графічно - у вигляді гістограми.

У кінці рішення здійснюють аналіз результатів та формулюють висновки про наявність чи відсутність взаємозв’язку між розглянутими у задачі ознаками. Якщо при зростанні факторної ознаки х середні групові результативної ознаки змінюються (зростають чи зменшуються), то це свідчить про наявність взаємозв’язку між ними (зростають – прямий, зменшуються – зворотний). Якщо середні групові результативної ознаки не змінюються, то стохастичний зв’язок між ознаками відсутній.

Для рішення задачі №3 необхідно засвоїти теми “Статистичні показники”, “Вибірковий метод” та “Аналіз рядів розподілу”, уміти застосовувати методи розрахунків середніх величин, абсолютних та відносних показників варіації в інтервальному ряді розподілу; усвідомити поняття генеральної та вибіркової сукупностей, частки вибірки у генеральній сукупності та вибіркової частки d, якій притаманна певна ознака; оволодіти методами розрахунків граничної помилки параметрів вибіркової сукупності.

Для визначення середньої та показників варіації ознаки Х за даними інтервального ряду складають табл. 2.1.

Таблиця 2.1

Розрахункові дані для рішення задачі 3

Групи підпри-ємств за вартістю ОФ	Кількість підпри-ємств
Разом					-	-

Перші дві графи табл. 2.1 заповнюються за даними інтервального ряду розподілу, який є результатом рішення задачі № 2.

Розрахунок середньої за згрупованими даними в інтервальному ряді розподілу носить умовний характер, так як грунтується на припущенні, що в межах інтервалу індивідуальні значення ознаки мають рівномірну щільність розподілу.

Середню визначають за формулою середньої арифметичної зваженої.

,

де - серединне значення ознаки j -групи; визначається для кожної групи як середня арифметична проста з нижньої та верхньої меж інтервального значення ознаки;

- частота j -групи;

- обсяг сукупності в цілому; = n.

Для характеристики варіації ознаки х необхідно обчислити дисперсію, середнє квадратичне відхилення та квадратичний коефіцієнт варіації.

Дисперсія – це середній квадрат відхилень кожного значення ознаки від загальної середньої. Оскільки вихідними даними для рішення задачі є згруповані дані, то визначаються відхилення середніх групових ознаки Х від загальної середньої по сукупності значень цієї ознаки.

або

.

Середнє квадратичне відхилення – це корінь квадратний із дисперсії.

.

Коефіцієнти варіації розраховуються як відношення абсолютних характеристик варіації до характеристики центру розподілу (середньої, моди чи медіани) та визначають у відсотках. Квадратичний коефіцієнт варіації обчислюють за формулою

.

Вважають, що сукупність є однорідною, а середня типовою, коли коефіцієнт варіації не перевищує 33 %.

Вибіркова сукупність є частиною генеральної сукупності, з якої проводиться відбір ознак для дослідження.

Між характеристиками вибіркової сукупності (оцінками вибірки) та характеристиками генеральної сукупності, як правило, існують деякі розбіжності, які називають помилками вибірки.

Розмір граничної помилки вибірки залежить від варіації ознаки , обсягу вибірки та її частини у генеральній сукупності , а також від прийнятого рівня ймовірності.

,

де t – квантиль нормального розподілу, довірче число (коефіцієнт довіри), який вказує як співвідносяться гранична та стандартна помилки вибірки для прийнятого рівня ймовірності;

- стандартна помилка вибірки (середня помилка), середнє квадратичне відхилення вибіркових оцінок від значень параметра генеральної сукупності.

,

де - дисперсія ознаки в генеральній сукупності;

- дисперсія вибіркових помилок;

n – обсяг вибірки.

В економічних розрахунках рекомендується використовувати довірчу ймовірність або , для яких квантиль t відповідно складає 1, 96 та 2, 00 (табл.. А.1).

У теорії вибіркового метода розглядається два способи відбору: повторний і безповторний. При повторному відборі за схемою кулі, що повертається, ймовірність попасти у вибірку однакова для усіх елементів сукупності. При безповторному відборі за схемою кулі, що не повертається, відібрана одиниця не повертається назад і ймовірність відбору окремих елементів весь час збільшується.

Використання випадкової повторної вибірки у практиці обмежено. Тому в задачі визначають середню квадратичну помилку випадкової безповторної вибірки за формулою

,

де n – обсяг вибірки;

N – обсяг генеральної сукупності.

Виходячи з того, що гранична помилка вибірки для вбраного рівня ймовірності є максимальним відхиленням розміру значень вибіркової оцінки від характеристики генеральної сукупності, можливі межі значень останньої (довірчі межі) визначають так:

для генеральної середньої

,

для генеральної частки Р

,

де - гранична помилка вибіркової середньої; ,

- гранична помилка вибіркової частки; ,

де d – вибіркова частка.

Мода – це варіанта, яка має найбільшу частоту. Її визначення залежить від виду ряду розподілу. В інтервальному ряді розподілу мода розраховується за формулою

,

де - нижня межа модального інтервалу;

h – ширина модального інтервалу;

- відповідно частота модального, передмодального та післямодального інтервалів.

Медіана – це варіанта, яка ділить на дві рівні за кількістю частини ранжирований ряд розподілу. Для інтервальних рядів розподілу медіана визначається за формулою

,

де - нижня межа медіанного інтервалу;

h – ширина медіанного інтервалу;

- накопичена частота передмедіанного інтервалу;

- частота медіанного інтервалу.

Задача 4 передбачає закріплення студентами теоретичних знань за темами “Зведення та групування статистичних даних”, “Аналіз рядів розподілу”, “Статистичні методи аналізу кореляційних зв’язків”.

Метод аналітичного групування використовують для характеристики лінії регресії – функції, яка зв’язує середні значення ознаки у зі значеннями ознаки х.

Метод аналітичного групування полягає в тому, що всі елементи сукупності групуються, як правило, за факторною ознакою х і в кожній групі обчислюють середні значення результативної ознаки у, тобто лінія регресії оцінюється лише в окремих точках, які відповідають певному значенню х. Ця частина вже виконувалася в контрольній роботі У семестру в задачі № 2 на основі не згрупованих первинних даних про обсяги виробництва продукції та потужність у вибірці з 25 заводів.

Крім того аналітичне групування дає змогу встановити кількісні співвідношення між результативною та факторною ознаками, що вивчаються, їх зміни при переході від однієї групи до наступної.

де і = 2 ÷ т, т – кількість груп;

– середні значення результативної ознаки по групах і та (і-1);

– середні значення факторної ознаки по групах і та (і-1).

Після визначення співвідношень формулюють висновки. Значення співвідношень показує, на скільки одиниць власного виміру зростає в середньому результативна ознака у при зростанні факторної ознаки х на одиницю її власного виміру.

Вимірювання кореляційного зв’язку як наступний етап методу аналітичного групування грунтується на правилі складання дисперсій. Загальна дисперсія розпадається на міжгрупову та середню з групових :

Вона обчислюється за індивідуальними значеннями результативної ознаки у за формулою

де у – індивідуальні значення результативної ознаки у;

– середні з індивідуальних значень ознаки у та квадратів її значень;

п – кількість елементів сукупності.

Міжгрупова дисперсія – це середньозважена з квадратів відхилень групових середніх результативної ознаки у від загальної середньої по сукупності у.

де – середні групові результативної ознаки у;

f – кількість елементів у кожній групі (частота).

Середню з групових дисперсій можна обчислити за формулою

де – групові дисперсії результативної ознаки у.

Тісноту кореляційного зв’язку характеризує відношення міжгрупової факторної дисперсії до загальної. Його позначають і називають кореляційним відношенням.

За статистичною природою це відношення є часткою варіації результативної ознаки у, яка пов’язана з варіацією факторної ознаки х. Кореляційне відношення змінюється від 0 до 1.

Перевірка істотності зв’язку між ознаками у та х здійснюється за допомогою критеріїв математичної статистики. Вона грунтується на порівнянні фактичних значень або критерія Фішера (F-критерія) з так званими їх критичними значеннями. Останні є тим максимально можливим значенням відношення, яке може виникнути випадково при відсутності кореляційного зв’язку.

Фактичне значення F-критерія розраховують за формулою

.

Якщо фактичні значення та F-критерія більші від критичних та , тобто

,

де – фактичне і критичне значення кореляційного відношення;

– фактичне і критичне значення критерію Фішера;

– відповідно ступені вільності міжгрупової та середньої з групових дисперсій; ,

то зв’язок між ознаками у та х вважається істотним. У протилежному випадку наявність кореляційного зв’язку між ознаками у та х не доведена і зв’язок вважається неістотним.

Критичні значення та наведені у табл. А.2 та табл А.3.

У другій частині задачі 4 необхідно оцінити лінію регресії за допомогою методу кореляційно-регресійного аналізу. Тут оцінка лінії регресії здійснюється в кожній точці інтервалу зміни значень факторної ознаки х. Тобто лінія регресії безперервна та зображується у вигляді певної функції Y= f(x), яка називається рівнянням регресії, а Y – теоретичні значення результативної ознаки.

Розглядають парну кореляційну модель, тобто з однією факторною ознакою. Функціональний вид рівняння регресії вибирають різними способами: графічним, аналітичного групування, теоретично обгрунтовують модель. Можливий перебір функцій. Вибирають рівняння регресії з найвищим коефіцієнтом тісноти зв’язку між ознаками, що вивчають.

У статистико-економічному аналізі найпоширенішою є лінійна функція

де , – параметри лінійного рівняння.

Вона проста, параметри її мають економічний зміст, а факторна ознака часто варіює в невеликих межах. Параметр називають коефіцієнтом регресії. Він показує, на скільки одиниць власного виміру в середньому змінюється значення результативної ознаки у зі збільшенням факторної ознаки х на одиницю її власного виміру.

Для оцінки лінії регресії визначають параметри обраного рівняння методом найменших квадратів. Це дає можливість отримати найкращі оцінки параметрів, які обчислюють шляхом складання та розв’язку системи рівнянь з двома невідомими:

.

Розрахункові суми для визначення параметрів рівняння, коефіцієнта детермінації та лінійного коефіцієнта кореляції заносять у табл.2.2.

Із складеної системи нормальних рівнянь

,
.

Таблиця 2.2

Розрахункові суми для оцінки лінії регресії

Номер ознаки	х	у	ху			У
.
.
.
Разом						_

Якщо значення параметра - додатна величина, то зв’язок між ознаками прямий. У випадку зворотного зв’язку параметр - має від’ємне значення.

Параметр - це значення у при х =0. Якщо х не може приймати нульового значення, цей параметр економічно не інтерпретується і як вільний член рівняння регресії має тільки розрахункове значення.

Визначення тісноти зв’язку в кореляційно-регресійному аналізі теж грунтується на правилі складання дисперсій. Оцінками лінії регресії тут є теоретичні значення результативної ознаки. Мірою тісноти зв’язку виступає коефіцієнт детермінації , аналогічний кореляційному відношенню.

,

де - дисперсія теоретичних значень (факторна) результативної ознаки у;

- загальна дисперсія результативної ознаки у.

Дисперсію теоретичних значень (факторну) результативної ознаки у визначають за формулою

.

Загальна дисперсія ознаки у дорівнює

Коефіцієнт детермінації характеризує ту частину варіації результативної ознаки у, яка відповідає лінійному рівнянню регресії та пов’язана з впливом факторної групувальної ознаки х. Він змінюється в таких межах:

.

Індекс кореляції…

характеризує тісноту зв’язку, але економічної інтерпретації не має.

Лінійний коефіцієнт кореляції розраховується за формулою

.

Середнє квадратичне відхилення по ознаці х визначається за формулою

.

Перевірку істотності зв’язку в кореляційно-регресійному аналізі здійснюють за допомогою критеріїв та F-критерія Фішера тим же способом, що і в методі аналітичного групування. Фактичне значення F-критерія розраховують за формулою

.

Ступені вільності залежать від параметрів рівняння регресії (m). . Для лінійної моделі m=2.

Критичні значення та F-критерія Фішера подані у табл.. А.2.

У невеликих за обсягом сукупностях коефіцієнт регресії схильний до випадкових коливань. Тому необхідно визначати довірчі межі коефіцієнта регресії. Стандартна похибка коефіцієнта регресії обчислюється за формулою

.

Величина граничної похибки

,

де t – коефіцієнт довіри. Визначається в залежності від ймовірності. Рівні довірчої ймовірності та відповідні їм значення t для вибірок достатньо великого обсягу () наведені у табл. А.1;

або - залишкова дисперсія ознаки у. Вона характеризує варіацію результативної ознаки у, не пов’язану з варіацією факторної ознаки х.

Довірчі межі коефіцієнта регресії складають

.

Отже, якщо х збільшується на одиницю його власного виміру, то у підвищується не менше і не більше, ніж наведені межі.

У кінці рішення задачі прикладається графік кореляційного поля та лінії регресії

.

Задача № 5 передбачає необхідність вивчення теми “Аналіз інтенсивності динаміки” та проведення оцінки структурних зрушень за допомогою абсолютних і відносних характеристик динаміки:

абсолютного приросту j -частки у процентних пунктах

;

темпу зростання j -частки

.

Характеристики структурних зрушень взаємопов’язані.

.

Як узагальнюючі характеристики інтенсивності структурних зрушень застосовують лінійний та квадратичний коефіцієнти. Їх обчислюють на основі абсолютних приростів часток , тобто

,

.

Знаючи темпи зростання часток, обчислюють квадратичний коефіцієнт, який порівняно з іншими більш чутливо реагує на зміни у структурі, за формулою

.

Результати розрахунків структури виробництва, отриманих у результаті рішення задачі 1 контрольної роботи, яка виконувалася у попередньому семестрі, та характеристик структурних зрушень необхідно подати в табл. 2.3.

Таблиця 2.3

Дані по структурі та структурних зрушеннях

Вид продукції	Обсяги виробництва в умовно-натуральному вираженні, ум. млн..т	Структура обсягів виробництва, %	Абсолютні відхилення часток,	Темп зростання (зменшення) часток,
за пла-ном	фактич-но	за пла-ном	фактич-но
Разом

Розрахунок узагальнюючих характеристик інтенсивності структурних зрушень проводять з використанням даних табл.. 2.4.

Таблиця 2.4.

Розрахункові дані для визначення узагальнюючих характеристик інтенсивності структурних зрушень

Види продукції
Разом

Для рішення задачі № 6 необхідно вивчити теми “Аналіз інтенсивності динаміки” та “Аналіз тенденцій розвитку”.

Задача передбачає вирішення таких питань:

- розрахунок абсолютних та відносних характеристик динаміки;

- визначення тенденції зростання обсягу виробництва продукції за допомогою лінійного тренда;

- оцінка автокореляції залишкових величин.

Динамічний ряд – це послідовність чисел, які характеризують зміну того чи іншого суспільно-економічного явища в часі. Для динамічного ряду характерні перелік хронологічних дат або інтервалів часу та конкретні значення відповідних статистичних показників, які називають рівнями ряду.

Розрахунок характеристик рядів динаміки грунтується на зіставленні рівнів ряду .

Абсолютний приріст відображає абсолютну швидкість зміни рівнів ряду. Він розраховується на ланцюговій

та базисній основах

як різниця рівнів динамічного ряду.

Темп зростання розраховується на ланцюговій

та базисній основах

як відношення рівнів динамічного ряду.

Темп приросту (відносний приріст) розраховується на ланцюговій

та базисній основах

і показує на скільки відсотків рівень більший (менший) рівня, взятого за базу порівняння.

Абсолютне значення 1% приросту розраховується на ланцюговій

та базисній основах

і показує чого вартий 1% приросту. Розраховується як співвідношення абсолютного та відносного приростів.

Середньорічний абсолютний приріст розраховується як середня арифметична проста з ланцюгових абсолютних приростів.

.

Середньорічний темп зростання розраховується за формулою середньої геометричної.

,

де п – число проміжків, які входять у часовий період (кількість ланцюгових темпів зростання);

– кінцевий базисний темп зростання як відношення останнього та першого рівнів ряду динаміки.

Тенденція зростання обсягів виробництва – це основний напрямок розвитку. Її описують функцією

,

де t=0, 1, 2, …, n – періоди зміни часу;

– теоретичні рівні ряду.

При відносно стабільних абсолютних приростах використовують лінійний тренд

.

Параметр – це теоретичне значення рівня при t=0, а параметр характеризує середній абсолютний приріст.

Для визначення параметрів складають систему нормальних рівнянь

.

Для вирішення завдання заповнюють табл. 2.5.

Якщо початок відліку часу t=0 перенести в середину ряду, то , а отже

, .

Таблиця 2.5

Розрахункові дані для визначення параметрів трендового рівняння задачі 6

Рік	Обсяг вироб-ництва
Разом

У трендовому рівнянні параметр показує середньорічний обсяг виробництва, а параметр – щорічний абсолютний приріст обсягу виробництва.

Для оцінки автокореляції залишкових величин розраховують коефіцієнт автокореляції за формулою

та порівнюють його з критичним значенням. Критичні значення коефіцієнтів автокореляції при =0, 05 наведені у табл. А.4.

Для розрахунку коефіцієнта автокореляції заповнюють табл.. 2.6.

Таблиця 2.6

Розрахункові дані для визначення коефіцієнта автокореляції задачі 6

Рік
Разом	-		-

За умови, що комплекс причин, які формують тенденцію, найближчим часом не зміниться, можна продовжити тенденцію за межі динамічного ряду і дати точковий прогноз у майбутньому. Для цього необхідно розрахувати теоретичні значення , підставивши у трендове рівняння майбутні значення фактора часу.

Інтервальна оцінка прогнозу, тобто його довірчі межі, визначається для ймовірності 1- = 0, 95 за формулою

,

де – помилка прогнозу;

t – довірче число для прийнятого рівня ймовірності;

v - період упередження.

Помилка прогнозу розраховується за формулою

,

де – оцінка залишкової дисперсії;

n – кількість років у періоді;

m – число параметрів рівняння.

Критичні значення t - критерія Стьюдента для ймовірності 1- = 0, 95 та ступенів вільності K=n-m наведені у табл А.5.

Для рішення задач №7, 8 та 9 необхідно засвоїти тему “Індекси”.

Індекс – це відносна величина, що характеризує зміну рівня будь-якого суспільного явища в часі, просторі чи порівняно з планом, нормою, стандартом.

Індивідуальні індекси характеризують зміну в динаміці або відображають співвідношення у просторі тільки одного якогось явища. Виходячи з умовних позначень, прийнятих у індексному методі аналізу, а також змісту ряду економічних показників, їх можна визначити за наступними формулами:

індивідуальні індекси інтенсивного фактора

;

індивідуальні індекси екстенсивного фактора

;

індивідуальні індекси двофакторні

.

Показники базового періоду позначаються підрядковим знаком “0”, а звітного – “1”. Якщо економічний показник поєднує у собі співмножники, що є інтенсивним та екстенсивним факторами, то індивідуальний індекс, який характеризує зміну цього показника, є добутком індексів цих співмножників. Такі індекси називають співзалежними. Система співзалежних індексів має таку форму запису:

.

Частка від ділення одиниці на індивідуальний індекс прямого показника дорівнює індивідуальному індексу оберненого показника. Це стосується показників трудомісткості та продуктивності праці.

, а ,

де – індивідуальний індекс трудомісткості;

- індивідуальний індекс продуктивності праці.

Зведений індекс відображає зміни всієї сукупності елементів складного суспільно-економічного явища. Перш ніж будувати зведені індекси, необхідно всі види продукції привести до порівнянного виду за допомогою таких коефіцієнтів-сумірників як ціна, собівартість, трудомісткість одиниці продукції чи урожайність одиниці площі. У результаті такої дії вирішують проблему зіставності, враховують ваги сумірників у реальних економічних процесах та одержують агрегати , де x – коефіцієнти-сумірники, а w – їх ваги. Їх називають факторами-співмножниками. Виходячи з умовних позначень індексного методу аналізу x – це інтенсивні фактори, а w – екстенсивні фактори впливу на індексовану величину (агрегат). Співвідношення таких агрегатів за різні проміжки часу є зведеними індексами агрегатної форми.

Індексний метод дозволяє визначити відносну зміну складного суспільно-економічного явища (агрегату) під впливом обох факторів одночасно та окремо кожного фактора.

Задача 7 передбачає визначення зведених індексів агрегатної форми.

Зведений індекс агрегатної форми, який показує вплив на індексовану величину обох факторів одночасно, визначається за формулою

,

де - індексована величина у звітному періоді;

- індексована величина у базовому періоді.

Зведені індекси агрегатної форми, які показують вплив на індексовану величину кожного фактора окремо, передбачають фіксацію одного з них на рівні якогось періоду часу. У статистико-економічному аналізі прийнято наступне правило фіксації факторів: інтенсивні фактори фіксуються на рівні базового періоду, а екстенсивні – на рівні звітного.

Зведений індекс агрегатної форми, який показує вплив на індексовану величину інтенсивного фактора, визначається за формулою

,

де - індексована величина у базовому періоді при умові збереження ваги коефіцієнтів-сумірників на рівні звітного періоду.

Зведений індекс агрегатної форми, який показує вплив на індексовану величину екстенсивного фактора, визначається за формулою

.

Для зведених індексів теж існує система співзалежності, яка відображає мультиплікативний зв’язок між сумірниками х та вагами w.

.

Індексний метод дозволяє визначити абсолютну зміну індексованої величини сумарну та за рахунок кожного фактора окремо. Вона розраховується як різниця між чисельником та знаменником відповідних індексів.

Загальна зміна складає

.

За рахунок зміни інтенсивного показника

.

За рахунок зміни екстенсивного показника

.

Отже, загальна зміна розкладається на дві складові:

.

Задача 8 передбачає визначення зведених індексів середнього рівня інтенсивного показника (індексів середніх величин).

У статистико-економічному аналізі нерідко доводиться порівнювати середні значення інтенсивних показників (факторів). Тут мова йде про середні, обчислені на базі групових середніх для однорідної продукції, фізичний обсяг якої можна підсумовувати. Зведені індекси інтенсивного показника – це співвідношення двох середніх величин за різні проміжки часу. Рівень середньої залежить від значень ознаки та співвідношення ваг.

.

Відносну зміну середньої величини за рахунок обох факторів виражає індекс змінного складу.

.

Зміну у відносному вираженні середньої величини за рахунок зміни тільки значень ознаки на окремих підприємствах показує індекс фіксованого складу.

.

Динаміка середнього рівня інтенсивного показника у відносному вираженні за рахунок зміни структури, тобто частки випуску продукції підприємств, визначається за допомогою індексу структурних зрушень.

.

Ці три індекси пов’язані в систему співзалежності.

.

Абсолютна зміна середнього рівня інтенсивного показника за рахунок обох факторів становить

.

За рахунок змін самого інтенсивного показника на кожному підприємстві

.

За рахунок структурних зрушень

.

Загальний абсолютний приріст дорівнює сумі абсолютних приростів за рахунок кожного з факторів.

.

Задача 9 передбачає розрахунок зведених середньозважених індексів.

Середньозважені зведені індекси використовуються у випадку, коли вивчення динаміки складних економічних явищ на основі агрегатних індексів стає неможливим через характер вихідних даних та економічної суті показників, які вивчають. Тому якщо необхідно охарактеризувати зміну екстенсивного показника в середньому по сукупності різнорідних елементів, використовують середньоарифметичний зведений індекс.

,

де – індивідуальний індекс екстенсивного показника;

– ваги.

Цей індекс тотожний зведеному агрегатному індексу екстенсивного показника. Оскільки

,

то

.

Обчислення індексу інтенсивного показника спирається на формулу середньо гармонійного індексу.

,

де – індивідуальний індекс інтенсивного показника;

– ваги.

Тотожність цієї форми індексу агрегатному індексу інтенсивного показника теж довести не важко. Оскільки

,

то

.

Абсолютні зміни індексованої величини за рахунок відповідних факторів визначаються як різниці між чисельником і знаменником відповідних середньозважених індексів.

3. Умови завдань до виконання контрольної роботи

Задача №1 (варіанти 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27).

Визначити за даними табл.. 3.1:

1) ступінь виконання плану виробництва металопродукції на металургійному комбінаті в натуральному та умовно-натуральному вираженні у перерахунку в передільний чавун (варіанти 1, 5, 9, 13, 15, 19, 23, 27) або сталь круглу діаметром 30 мм (варіанти 3, 7, 11, 17, 21, 25);

2) структуру виробництва металопродукції в умовно-натуральних одиницях вимірювання за планом і фактично.

Зробити висновки.

Коефіцієнти перерахунку металопродукції в умовно-натуральні одиниці вимірювання:

Чавун: Сталь кругла діаметром мм:

передільний - 1, 00 30 - 1, 0

ливарний - 1, 15 35 - 0, 9

хромонікелевий - 1, 50 40 - 0, 8

феромарганцевий – 2, 50 45 - 0, 7.

ванадієвий - 1, 35

ковкий - 1, 15

ферофосфорний - 4, 00.

Таблиця 3.1

Варіанти задачі № 1