Формула Симпсона

Лабораторная работа 5

Теоретический материал

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями

Если отрезок разбивается узлами интегрирования и на каждом из элементарных отрезков применяется формула трапеций, то суммирование даст составную формулу трапеций

четное

В случае равномерной сетки погрешность

В случае равномерной сетки погрешность аппроксимации E _n(f) можно оценить через максимум второй производной

с помощью максимума второй производной

Формула Симпсона

Суть метода заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке интерполяционным многочленом второй степени , то есть приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет порядок погрешности 4 и алгебраический порядок точности 3.

Для более точного вычисления интеграла, интервал разбивают на отрезков одинаковой длины и применяют формулу Симпсона на каждой соседней паре из них. Значение исходного интеграла является суммой результатов интегрирования на всех отрезках.

где — величина шага, а — узлы интегрирования, границы элементарных отрезков, на которых применяется формула Симпсона.

Общая погрешность E _n(f) при интегрировании по отрезку с шагом (при этом, в частности, , ) определяется по формуле:

.

с помощью максимума четвёртой производной.

Пример. Вычислить приближенно определенный интеграл

Решение

После табулирования функции x_i, f(x_i), построим ее график в области интегрирования. По рис видно, что площадь криволинейной трапеции должна быть < 0, 5 ед2

Вопросы

1.Какова точность вычисления интеграла?

2. Сколько нужно взять точек разбиения отрезка, чтобы достигнуть заданной точности вычисления определенного интеграла?

Аналогично выполнить расчет по формуле Симпсона.