Примеры. Основные определения и примеры

ГЛАВА 9. ГРУППЫ

Основные определения и примеры

Определение.Группой называется множество G элементов произвольной природы, в котором задана внутренняя операция, удовлетворяющая трtм аксиомам.

1*.

2*.

3*.

Таким образом, групповая операция ассоциативна, в группе есть нейтральный элемент, и каждый элемент в группе имеет обратный.

Если групповая операция, кроме того, коммутативна, то группа называется коммутативной или абелевой.

Если групповая операция – сложение, то группа называется аддитивной, если – умножение, то – мультипликативной.

Примеры

1. Любое линейное пространство – абелева аддитивная группа.

2. Множество всех матриц – абелева аддитивная группа.

3. – множество невырожденных матриц п- го порядка с элементами из поля Р – это мультипликативная группа.

4. - множество матриц п- го порядка с элементами из Р, определитель которых равен единице, – мультипликативная группа.

5. Множества унитарных и ортогональных матриц соответственно n -го порядка – мультипликативные группы.

6. Множества эрмитовых и симметричных матриц n -го порядка – аддитивные группы.

7. – линейный – аддитивная группа.

8. – линейный невырожденный – мультипликативная группа.

9. Множества унитарных и ортогональных операторов соответственно в n -мерном евклидовом пространстве – мультипликативные группы.

10. Множества и эрмитовых и симметричных операторов соответственно в n- мерном евклидовом пространстве – аддитивные группы.

Подмножество H группы G называется ее подгруппой, если оно само является группой относительно операции, заданной в G. Такимобразом,

O (n) – подгруппа U (n), которая, в свою очередь, является подгруппой группы ; S (n) – подгруппа H (n), а она – подгруппа группы .

Определение. Пусть и – группы. Отображение называется изоморфизмом групп, если оно взаимно однозначное и сохраняет групповую операцию, т. е. если .

Например, следующие группы изоморфны:,,,. Напоминаем, что в математике изоморфные объекты не различаются, поэтому матричные группы и соответствующие группы операторов обозначаются одинаково, а волну для их различения мы ставили временно. О какой именно из групп идет речь – матричной или операторной – должно быть понятно из контекста.

Приведем еще один интересный пример изоморфизма. Пусть – аддитивная группа, а – мультипликативная. Рассмотрим следующее отображение: : положим . Так как единственное такое, что , то – взаимно однозначное. Кроме того, , значит, f – изоморфизм. Таким образом, аддитивная группа изоморфна мультипликативной группе .