Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Примеры. Основные определения и примерыСтр 1 из 2Следующая ⇒
ГЛАВА 9. ГРУППЫ
Основные определения и примеры Определение.Группой называется множество G элементов произвольной природы, в котором задана внутренняя операция, удовлетворяющая трtм аксиомам. 1*. 2*. 3*. Таким образом, групповая операция ассоциативна, в группе есть нейтральный элемент, и каждый элемент в группе имеет обратный. Если групповая операция, кроме того, коммутативна, то группа называется коммутативной или абелевой. Если групповая операция – сложение, то группа называется аддитивной, если – умножение, то – мультипликативной.
Примеры
1. Любое линейное пространство – абелева аддитивная группа. 2. Множество всех матриц – абелева аддитивная группа. 3. – множество невырожденных матриц п- го порядка с элементами из поля Р – это мультипликативная группа. 4. - множество матриц п- го порядка с элементами из Р, определитель которых равен единице, – мультипликативная группа. 5. Множества унитарных и ортогональных матриц соответственно n -го порядка – мультипликативные группы. 6. Множества эрмитовых и симметричных матриц n -го порядка – аддитивные группы. 7. – линейный – аддитивная группа. 8. – линейный невырожденный – мультипликативная группа. 9. Множества унитарных и ортогональных операторов соответственно в n -мерном евклидовом пространстве – мультипликативные группы. 10. Множества и эрмитовых и симметричных операторов соответственно в n- мерном евклидовом пространстве – аддитивные группы. Подмножество H группы G называется ее подгруппой, если оно само является группой относительно операции, заданной в G. Такимобразом, O (n) – подгруппа U (n), которая, в свою очередь, является подгруппой группы ; S (n) – подгруппа H (n), а она – подгруппа группы . Определение. Пусть и – группы. Отображение называется изоморфизмом групп, если оно взаимно однозначное и сохраняет групповую операцию, т. е. если . Например, следующие группы изоморфны:,,,. Напоминаем, что в математике изоморфные объекты не различаются, поэтому матричные группы и соответствующие группы операторов обозначаются одинаково, а волну для их различения мы ставили временно. О какой именно из групп идет речь – матричной или операторной – должно быть понятно из контекста. Приведем еще один интересный пример изоморфизма. Пусть – аддитивная группа, а – мультипликативная. Рассмотрим следующее отображение: : положим . Так как единственное такое, что , то – взаимно однозначное. Кроме того, , значит, f – изоморфизм. Таким образом, аддитивная группа изоморфна мультипликативной группе .
|