к занятию 1, модуль 2

Домашнее задание по линейной алгебре

Специализация «Мировая экономика»

1. Докажите линейность следующих операторов по определению, найдите их матрицы в базисе , а также образ, ядро, ранг и дефект оператора:

а) оператор проецирования пространства геометрических векторов на плоскость Oxz;

б) оператор отражения пространства геометрических векторов относительно плоскости Oxz;

в) оператор поворота геометрических векторов из на угол против хода часовой стрелки;

г) оператор поворота геометрических векторов из на угол против хода часовой стрелки;

д) оператор отражения геометрических векторов из относительно плоскости ;

е) оператор проецирования геометрических векторов из на плоскость ;

2. Докажите линейность оператора . Составьте его матрицу в данном базисе.

3. Линейный оператор в некотором базисе задан матрицей

.

а) найдите ранг и дефект оператора;

б) найдите базис в образе оператора;

в) найдите базис в ядре оператора.

4. Линейный оператор в некотором базисе задан матрицей

.

а) найдите ранг и дефект оператора;

б) найдите базис в образе оператора;

в) найдите базис в ядре оператора.

5. Линейный оператор в некотором базисе задан матрицей

.

а) найдите ранг и дефект оператора;

б) найдите базис в образе оператора;

в) найдите базис в ядре оператора.

6. Линейный оператор в некотором базисе задан матрицей

.

а) найдите ранг и дефект оператора;

б) найдите базис в образе оператора;

в) найдите базис в ядре оператора.

7. В некотором базисе трехмерного линейного пространства заданы линейные операторы

, .

Найдите координаты вектора в том же базисе.

8. В некотором базисе s w: ascii=" Cambria Math" w: h-ansi=" Cambria Math" /> < wx: font wx: val=" Cambria Math" /> < w: b/> < w: i/> < w: sz w: val=" 28" /> < w: sz-cs w: val=" 28" /> < w: lang w: val=" RU" /> < /w: rPr> < m: t> 3< /m: t> < /m: r> < /m: sub> < /m: sSub> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> задан произвольный вектор и его образ . Найдите координаты вектора .

9. В некотором базисе трехмерного линейного пространства заданы линейные операторы

, .

Найдите матрицы операторов и в том же базисе, в котором даны координаты векторов . Векторы и запишите в координатной форме.

10. В базисе задан вектор . Найдите координаты этого вектора в базисе

; ; .

11. Линейный оператор A в базисе матрицу . Найдите матрицу этого оператора в новом базисе

; ; .

12. В базисе запишите матрицу оператора дифференцирования многочленов степени, меньшей или равной 2. Используя матрицу перехода, найдите матрицу оператора в базисе .

13. Найдите матрицу линейного оператора, переводящего векторы , , в векторы , , в том же базисе, в коротом даны векторы.

14. Найдите матрицу линейного отображения, переводящего векторы , , в векторы , ,

15. Могут ли матрицы А и В быть матрицами одного и того же линейного оператора в разных базисах, если

, ?

16. Найдите координаты вектора в базисе s w: ascii=" Cambria Math" w: h-ansi=" Cambria Math" /> < wx: font wx: val=" Cambria Math" /> < w: b/> < w: i/> < w: sz w: val=" 28" /> < w: sz-cs w: val=" 28" /> < w: lang w: val=" RU" /> < /w: rPr> < m: t> 3< /m: t> < /m: r> < /m: sub> < /m: sSub> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> , если он задан в базисе s w: ascii=" Cambria Math" w: h-ansi=" Cambria Math" /> < wx: font wx: val=" Cambria Math" /> < w: b/> < w: i/> < w: sz w: val=" 28" /> < w: sz-cs w: val=" 28" /> < w: lang w: val=" RU" /> < /w: rPr> < m: t> 3< /m: t> < /m: r> < /m: sub> < /m: sSub> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> , при этом

; ;

17. Найдите матрицу перехода от базиса к базису s w: ascii=" Cambria Math" w: h-ansi=" Cambria Math" /> < wx: font wx: val=" Cambria Math" /> < w: b/> < w: i/> < w: sz w: val=" 28" /> < w: sz-cs w: val=" 28" /> < w: lang w: val=" RU" /> < /w: rPr> < m: t> 3< /m: t> < /m: r> < /m: sub> < /m: sSub> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> в трехмерном линейном пространстве и определите координаты вектора в базисе s w: ascii=" Cambria Math" w: h-ansi=" Cambria Math" /> < wx: font wx: val=" Cambria Math" /> < w: b/> < w: i/> < w: sz w: val=" 28" /> < w: sz-cs w: val=" 28" /> < w: lang w: val=" RU" /> < /w: rPr> < m: t> 3< /m: t> < /m: r> < /m: sub> < /m: sSub> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> , если

18. Дана система линейных однородных уравнений:

а) а)

Найти фундаментальную систему решений и общее решение этой системы уравнений. Считая, что линейный оператор А задан своей матрицей, совпадающей с матрицей данной СЛАУ, найти базис в ядре оператора А и описать векторы, составляющие ядро.