Раздел 2. Элементы аналитической геометрии

Тема 7. Геометрия на прямой. Декартова ось координат. Координаты точек и векторов на прямой. Длина вектора. Преобразование системы координат на прямой.

Тема 8. Геометрия на плоскости. Общая декартова система координат на плоскости. Декартова прямоугольная система координат. Координаты точек и векторов на плоскости. Расстояние между двумя точками. Угол между двумя векторами. Полярная система координат. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой.

Полуплоскость. Направляющий вектор прямой. Составление уравнения прямой по различным ее заданиям. Взаимное расположение двух прямых: условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

Тема 9. Геометрия в пространстве. Общая декартова система координат в пространстве. Декартова прямоугольная система координат. Координаты точек и векторов. Расстояние между двумя точками. Плоскость в пространстве. Составление уравнения плоскости по различным ее заданиям. Взаимное расположение двух плоскостей: условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, угол между двумя плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Различные способы задания прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние от точки до прямой.

Тема 10. Выпуклые множества. Определение, примеры выпуклых множеств. Полупространство как выпуклое множество. Основная теорема. Свойства выпуклых множеств. Выпуклый многогранник. Угловые точки выпуклых множеств. Выпуклая оболочка системы точек.

Контрольные вопросы

Тема 1.

1. Можно ли сложить данные матрицы:

и .

1. Какие из заданных пар матриц можно перемножить:

а) , ;

б) , ;

в) , .

3. Вычислить , если , .

Тема 2.

1. Показать, что однородная система всегда имеет хотя бы одно решение.
2. Является ли множество решений системы

бесконечным?

3. Имеет ли матрица обратную: ?

Тема 3.

1. Является ли система векторов линейно зависимой в : ?
2. В каких случаях система трёх векторов в пространстве образует базис?
3. Условие ортогональности двух векторов в пространстве ?

Тема 4.

1. Чему равен определитель матрицы:

а) ; б) ?

2. Вычислить определитель, используя известные свойства определителя:

а) ; б) .

3. Как изменится определитель, если одну из его строк умножить на «3»?

Тема 5.

1. Найти корни уравнения: а) ; б) .

2. Найти .

3. Какое комплексное число определяет формула:

.

Тема 6.

1. Сколько корней имеет характеристическое уравнение:

.

2. Может ли уравнение, определяющее собственные вектора матрицы : , иметь единственное решение?

Тема 8.

1. Определить длину вектора где .

2. Найти координату х точки М, делящей отрезок, ограниченный точками и , в отношении: а) 3; б) 1

3. Даны координаты 2 и 4 точки А в двух декартовых системах координат, полученных одна из другой переносом начала. Найти старую координату нового начала координат и новую координату старого начала координат.

Тема 9.

1. Привести общее уравнение прямой на плоскости:

к уравнению в отрезках на осях.

2. Чему равен угол между прямыми: и ?

3. Чему равен угол, образованный прямой с осью ?

Тема 10.

1. Чему равны отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат? .
2. Являются ли следующие плоскости параллельными?

.

3. Пересекаются ли прямая с плоскостью ?

Тема 11.

1. Являются ли следующие множества ограниченными?

а) ; б) .

1. Найти вершины выпуклого множества:

.

1. Является ли выпуклым множество, определяемое неравенствами:

.

Вопросы к экзамену

1. Определение матрицы, виды матриц.
2. Действия с матрицами, их свойства.
3. Обратная матрица, ее свойства.
4. Элементарные преобразования матриц.
5. Приведенная матрица.
6. Системы линейных уравнений, их виды.
7. Матричная запись систем, расширенная матрица системы.
8. Определение решения системы, общее решение.
9. Элементарные преобразования систем.
10. Метод Гаусса решения систем.
11. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
12. Матричные уравнения.
13. Линейное векторное пространство.
14. Линейная комбинация векторов.
15. Линейная зависимость векторов.
16. Скалярное произведение векторов, его свойства.
17. Ортогональные векторы. Базис в линейном векторном пространстве.
18. Понятие определителя, его свойства.
19. Схема Крамера решения систем линейных уравнений.
20. Комплексные числа, действия с ними.
21. Тригонометрическая форма комплексного числа.
22. Определение собственных чисел и собственных значений матрицы.
23. Простейшие линейные экономические модели.
24. Декартова ось координат.
25. Декартова система координат на плоскости.
26. Полярная система координат.
27. Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой.
28. Определение полуплоскости.
29. Взаимное расположение двух прямых.
30. Расстояние от точки до прямой.
31. Декартова система координат в пространстве.
32. Плоскость в пространстве.
33. Составление уравнения плоскости по различным ее заданиям.
34. Взаимное расположение двух плоскостей.
35. Расстояние от точки до плоскости.
36. Прямая в пространстве, способы ее задания.
37. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
38. Взаимное расположение прямой и плоскости.
39. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
40. Понятие выпуклого множества.
41. Полупространство как выпуклое множество.
42. Свойства выпуклых множеств.
43. Угловые точки выпуклых множеств.