Лекция 11. Основы кинематики потока жидкости.

Считают, что в данной системе координат задано поле скоростей, напряжений, температур т.п., если в точке пространства эти параметры известны. Т.о. поле скоростей рассчитывается на основе метода Эйлера.

Задача гидромеханики:

Задача гидромеханики считается решенной, если по заданным внешним массовым и поверхностным силам в пространстве переменных Эйлера рассчитано поле скоростей. Остальные параметры можно рассчитать на основе соотношений, связывающих скорости движения частиц жидкости с давлением в каждой токе потока.

Понятие о кинематике жидкости.

Кинематика жидкости устанавливает законы движения частиц жидкости независимо от действующих на них сил. Таким образом, законы кинематики устанавливаются на основе подхода Лагранжа.

Основные законы кинематики жидкости устанавливает теорема Коши-Гельмгольца (1868 – 1870гг).

«Скорость любой частицы жидкости имеет в общем случае 3 составляющие:

- поступательную;

- вращательную;

- деформационную».

(3.1)

Общая картина движения частицы жидкости.

Пусть в декартовой прямоугольной системе координат в каждой точке пространства задано поле скоростей жидкости. Рассмотрим в этой системе координат жидкую подвижную частицу. Пусть в момент времени t объем частицы был равен V(t). В момент t+ ∆ t объем стал равным V^′ (t+∆ t).

Возьмем в этой частице две произвольные точки А и В. Соединим их отрезком длиной l. Обозначим . В момент времени t=t+∆ t отрезок АВ займет положение .

Теорема Коши-Гельмгольца устанавливает следующее:

«Любой отрезок , состоящий из одних и тех же частиц жидкости, перемещается поступательно, вращается вокруг центра вращения (точки А) и деформируется (сжимается).

2. Понятие о линейных и угловых деформациях в жидкости.

Линейной деформацией отрезка называют отношение

(3.1)

Линейной деформацией жидкости в точке А в направлении называют предел отношения при В → А.

Скоростью линейной деформации в точке А в направлении называют:

.

Линейные деформации (относительные удлинения отрезков) характеризуют изменение объема V жидкости.

Угловые деформации характеризуют изменения углов, т.е. характеризуют изменение формы тела. Эти деформации характеризуют сдвиг одного слоя жидкости относительно другого.

Понятие о тензоре скоростей деформации.

В теории гидродинамики показывается, что скорость деформации любого бесконечно малого отрезка, проведенного из точки А, может быть выражена (в виде линейной комбинации) через скорости линейных деформаций бесконечно малых отрезков, направленных по главным осям x, y, z и скорости изменения углов, лежащих на главных координатных плоскостях:

Здесь v_x, v_y, v_z – компоненты вектора скорости в точке А.

Свойство тензора скоростей деформации.

Элементы главной диагонали тензора характеризуют скорости относительных удлинений бесконечно малых координатных отрезков . Недиагональные элементы характеризуют скорость изменения прямых углов между этими отрезками.

Скорость изменения относительного объема жидкости определяется равенством:

.

Если жидкость несжимаемая, то ∆ V=0.

Отсюда или .

Условие

называется в гидромеханике условием несжимаемости жидкости или уравнением неразрывности потока жидкости.

Выводы: Задача расчета изменения деформированного состояния подвижной сплошной среды считается решенной, если в любой точке среды задано поле скоростей v=v (x, y, z, τ).

Основные законы кинематики жидкости устанавливает теорема Коши-Гельмгольца (1868 – 1870гг).

«Скорость любой частицы жидкости имеет в общем случае 3 составляющие:

- поступательную;

- вращательную;

- деформационную».

(3.1)

Общая картина движения частицы жидкости.

Пусть в декартовой прямоугольной системе координат в каждой точке пространства задано поле скоростей жидкости. Рассмотрим в этой системе координат жидкую подвижную частицу. Пусть в момент времени t объем частицы был равен V(t). В момент t+ ∆ t объем стал равным V^′ (t+∆ t).

Возьмем в этой частице две произвольные точки А и В. Соединим их отрезком длиной l. Обозначим . В момент времени t=t+∆ t отрезок АВ займет положение .

Теорема Коши-Гельмгольца устанавливает следующее:

«Любой отрезок , состоящий из одних и тех же частиц жидкости, перемещается поступательно, вращается вокруг центра вращения (точки А) и деформируется (сжимается).

2. Понятие о линейных и угловых деформациях в жидкости.

Линейной деформацией отрезка называют отношение

(3.1)

Линейной деформацией жидкости в точке А в направлении называют предел отношения при В → А.

Скоростью линейной деформации в точке А в направлении называют:

.

Линейные деформации (относительные удлинения отрезков) характеризуют изменение объема V жидкости.

Угловые деформации характеризуют изменения углов, т.е. характеризуют изменение формы тела. Эти деформации характеризуют сдвиг одного слоя жидкости относительно другого.