Лекция №13. Уравнения пространственного движения реальных жидкостей и газов

Учебные вопросы:

1. Общие уравнения движения сплошной среды в проекциях на оси координат. Уравнения Навье-Стокса движения вязкой сжимаемой жидкости в векторной форме.

2. Уравнения Эйлера движения идеальной жидкости. Уравнение Бернулли как частный случай общего решения системы уравнений Эйлера.

1. В лекции №10 показано, что в общем случае дифференциальное уравнение движения сплошной среды может быть представлено в векторной форме:

(5.1)

В проекциях на оси координат х, у, z эти уравнения примут вид:

(5.2)

Учитывая эти соотношения можно показать, что

Вектор - оператор Гамильтона, - набла.

Здесь - оператор Лапласа.

Уравнение Навье-Стокса движения вязкой несжимаемой жидкости в векторной форме:

(5.5)

Здесь - кинематический коэф. вязкости.

Уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости (div V=0) имеет вид:

(5.6)

2. Уравнения Эйлера движения идеальной жидкости (1755г., опубликовано 1769 г.).

В проекциях на оси координат:

(5.8)

Решение уравнений Эйлера.

Умножим 1-ю строчку на dx, 2-ю на dy, 3-ю на dz и сложим, получаем:

(5.9)

Получаем:

Предположим, что поле массовых сил обладает потенциалом – силовой функцией U–потенциалом массовых сил, таким, что

Решение уравнений Эйлера

(5.10)

В любой точке потока идеальной жидкости полная энергия одна и та же.

Рассмотрим движение идеальной жидкости в поле сил тяжести Земли:

Здесь U силовая функция– потенциал массовых сил. [U]=м²/с²=Дж/кг.

Получим частный случай общего решения уравнений Л. Эйлера:

(1738 г.)

Уравнение Д. Бернулли (1738 г.) – частный случай общего решения системы уравнений Л.Эйлера.

Для 2-х любых точек струйки жидкости имеем: