Итак, имеем

– I начало термодинамики, (3.1)

– II начало термодинамики. (3.2)

Входящие в эти выражения дифференциалы вычисляются следующим образом:

(3.3)

Кроме того, для идеального газа имеем

(3.4)

Считается также заданной химическая формула газа или, в случае смеси, её состав, т.е. считаются заданными величины .

С математической точки зрения система уравнений (3.1) – (3.4) является незамкнутой, т.к. девять уравнений содержат десять неизвестных. В качестве последнего, десятого, должно задаваться уравнение процесса, т.е. функциональная зависимость между параметрами системы, определяемая наложением внешних условий, связанных со свойствами оболочки, ограничивающей рассматриваемую термодинамическую систему. В общем случае записать уравнение процесса в математической форме не представляется возможным, т.к. свойства оболочки зависят от произвола экспериментатора.

На практике чаще всего имеют дело с термодинамическими процессами, в течение которых на каждых малых участках процесса можно с достаточной точностью считать постоянным соотношение между количествами работы и теплоты. Такие процессы называют политропными. Итак, по определению, для политропных процессов имеем

Поскольку для идеального газа , отсюда следует, что уравнение политропного процесса может быть записано в виде

, (3.5)

т.е. политропный процесс можно определить как процесс с постоянной т­еп­лоёмкостью. Так как соотношение между теплотой и работой процесса может быть произвольным и наперёд заданным, то и теплоёмкость его может принимать самые различные значения, в частности нулевое, отрицательные и положительные, т.е. в общем случае .

Соотношения между параметрами в политропном процессе можно получить на основании уравнений политропного процесса в переменных . Используем для этого две записи I начала термодинамики в формах (3.1), подставив в них дифференциалы из (3.3) и (3.4):

(3.6)

Перенеся слагаемые с в левые части этих выражений и разделив второе уравнение на первое, получим

.

Комплекс (постоянный в случае политропного процесса)

(3.7)

носит название показателя политропы. Имеем, таким образом

.

Разделяя переменные в этом уравнении и интегрируя, получаем связь между давлением и объёмом в политропном процессе в виде

. (3.8)

Значение постоянной интегрирования может быть найдено, если заданы давление и удельный объём в каком-либо состоянии, например в начальном, т.е. при задано давление . Имеем тогда

. (3.9)

Далее, получим уравнение политропного процесса в переменных . Из (3.2) и (3.3) имеем

.

Отсюда с учётом постоянства теплоёмкости легко получаем

.

Используя начальные данные , находим уравнение политропного процесса в координатах :

. (3.10)

Обычно на практике политропный процесс задаётся не значением теплоёмкости c, а значением показателя политропы n, тогда теплоёмкость процесса вычисляется как

или

, (3.11)

где величина k носит название показателя адиабаты и определена ранее (см. (2.13)) (происхождение этого названия будет ясно из дальнейшего).

Из уравнения политропного процесса в переменных (3.9) и записи уравнения состояния для начального и конечного состояний в процессе можно получить так называемые соотношения между параметрами в политропном процессе:

. (3.12)

Вычисление количества теплоты в политропном процессе производится в соответствии с определением (1.32) или (1.33), т.е.

. (3.13)

Работа изменения объёма в политропном процессе может быть найдена интегрированием (1.24) с учётом зависимости давления от объёма (3.9):

. (3.14)

Подстановка пределов и использование соотношений между параметрами в политропном процессе (3.12) позволяет записать выражение для удельной работы изменения объёма в трёх эквивалентных формах:

(3.15)

Полезная внешняя работа также может быть вычислена непосредственно интегрированием (2.14) или (3.3), однако можно поступить проще, приняв во внимание тот факт, что

. (3.16)