Алгебраический критерий устойчивости Рауса-Гурвица

Критерий устойчивости (условие наличия в характеристическом уравнении САР только отрицательных корней, или комплексно-сопряженных корней с отрицательной вещественной частью) был сформулирован швейцарским математиком А. Гурвицем в 1895 году. Критерий связывает расположение корней характеристического полинома

с определенными условиями, накладываемыми на его коэффициенты .

Для применения критерия необходимо из коэффициентов полинома составить матрицу Гурвица в следующем виде

.

Матрица Гурвица составляется следующим образом. Диагональ матрицы заполняется по-порядку коэффициентами полинома начиная с . Первая строка матрицы Гурвица заполняется коэффициентами полинома, имеющими нечетные индексы, вторая строка – коэффициентами, имеющими четные индексы ( относится к коэффициентам, имеющим четные индексы), третья строка опять заполняется коэффициентами полинома, имеющими нечетные индексы и т.д. Свободные места в матрице заполняются нулями.

САР будет устойчива (в характеристическом полиноме будут все корни отрицательные, или с отрицательной вещественной частью), если положительны все диагональные миноры, полученные из матрицы Гурвица

; ; ; ; .

Примеры.

1). Для характеристического полинома 2-й степени условие А.Стодолы , , является необходимым и достаточным.

2). Для характеристического полинома 3-й степени необходимыми и достаточными условиями устойчивости являются:

а) , , , (условие А.Стодолы),

б) (получено по матрице А.Гурвица).

3). Для характеристического полинома 4-й степени необходимыми и достаточными условиями устойчивости являются:

а) , , , , (условие А.Стодолы),

б) и (получено по матрице А.Гурвица).

4). Для характеристического полинома 5-й степени необходимыми и достаточными условиями устойчивости являются:

а) , , , , , (условие А.Стодолы),

б) , ,

(получено по матрице А.Гурвица).