Описание линейных систем автоматического управления в нормальной форме.

Лабораторная работа № 1

Реализация линейных стационарных систем

В пространстве состояний

I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Описание линейных систем автоматического управления в нормальной форме.

Описание САУ может быть дано путём задания дифференциальных уравнений звеньев и алгебраических соотношений, выражающих связи между звеньями. Метод, где математическая модель системы даётся на языке операторов звеньев и структуры связей, называется операторно-структурным.

Описание может быть дано в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных. Метод, где математическая модель представляет собой систему уравнений вида (1.1), называется описанием в нормальной форме Коши или методом описания в пространстве состояний.

Рассмотрим систему ДУ в форме Коши в развёрнутом виде:

(1.1)

Последнее название связано с тем, что при достаточно задать начальное значение переменных для того, чтобы определить их значения, а, следовательно, и значения выхода в любой момент последующий момент, т.е. задание полностью определяет состояние системы .

В модели (1.1) имеется n взаимосвязанных дифференциальных уравнений 1-го порядка, в правую часть, которых входят m различных внешних воздействий , а также алгебраических соотношений, связывающих p выходных (управляемых) процессов с переменными состояния , число которых (n) совпадает с числом уравнений. Коэффициенты называют параметрами системы. Уравнения (1.1) удобно представить в векторно-матричной форме, если ввести следующие обозначения

,

, то

то систему (1.1) можно записать в виде (1.2)

(1.3), где

- вектор переменных состояния, - вектор входных воздействий, - вектор выходов, , , - матрицы параметров.

Уравнение (1.2) называют уравнением состояния, а уравнение (1.3) – уравнением выхода.

Полученные уравнения можно представит в виде структурной схемы (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1 Структурная схема системы.

Поведение и свойства системы полностью характеризуются понятием состояния, которому соответствует точка в пространстве (см. рис. 1.2). Координатами пространства состояний являются переменные системы уравнений (1.1), записанных в нормальной форме Коши. Множество векторов называется пространством состояний.

Если система описывается векторно-матричным уравнением в нормальной форме Коши, то размерность пространства состояний равна порядку указанной системы.

Поведение системы (ее движение) характеризуется фазовой траекторией (см. рис. 1.2), которая определяет изменение координат системы во времени. Каждая конкретная (фиксированная) точка на фазовой траектории характеризует состояние системы при . Фазовая траектория полностью определяет состояние системы в пространстве Rⁿ и во времени, поэтому вектор называют фазовым вектором или вектором переменных состояния. Координаты называются фазовыми координатами или координатами состояния.

Рис. 1.2 Фазовое пространство

Траектория состояний системы в течение времени t Î [ t _ф, Т ] – это геометрическое место точек конца вектора состояния X (t) в пространстве состояний , параметрически определяемых временем t Î [t_ф, Т]. Траектория состояний однозначна на интервале [t_ф, Т] для заданного на этом интервале входного сигнала U(t).

Фазовым пространством скалярной системы n-го порядка с переменной на выходе x (t) называют n-мерное пространство состояний, координаты которого представляют собой производные по времени . Число координат пространства состояний равно порядку системы уравнений в форме Коши.

Координатывектора состояния – это часто абстрактные величины, лишенные физического смысла. Они необязательно соответствуют (но могут и соответствовать) реальным физическим величинам процессов, действующих в системе. Многие из них вводятся искусственно путем некоторых преобразований. Поэтому координаты соответствуют не реальной, а математической модели САУ. Математические модели имеют разные степени адекватности, поэтому уравнения состояния не единственны.

Вектор состояний X(t) образуется с помощью компонент x_i (t), выбранных так и в таком количестве, что если известно их значение X(t _ф) при t = t _ф, где t _ф – фиксированный момент времени, то при заданном значении вектора входа U(t) для t Î [ t _ф, Т ]векторY(t) может быть определен однозначно. Функции доступны наблюдению (измерению). Это реальные выходные сигналы, которые можно наблюдать (измерить).

При составлении моделей динамических систем в пространстве состояний исходными часто являются описания отдельных звеньев системы в форме дифференциальных уравнений высокого порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим подробнее возможности составления уравнений состояния для таких звеньев.

В общем случае передаточная функция системы имеет вид: (1.4)

Для перехода от операторно-структурного метода описания к описанию в пространстве состояний необходимо привести характеристический полином системы к приведённому виду, т.е. , тогда после обозначений передаточная функция системы и её дифференциальное уравнение имеют вид: (1.5)

(1.6)

Системы, у которых порядок числителя меньше порядка знаменателя, часто называют правильными, если эти порядки равны, то сначала в передаточной функции выделяется слагаемое в виде постоянного коэффициента, отвечающего матрице D в уравнениях состояния.

Рассмотрим алгоритм перехода от скалярного дифференциального уравнения n- го порядка к системе n дифференциальных уравнений 1-го порядка в форме Коши.

Пусть одномерная (скалярная) система описывается дифференциальным уравнением вида

, где (1.7)

Введем в рассмотрение переменные . Последние зависимости можно переписать так

Тогда .

С учетом выражений введённых обозначений можно записать:

(1.8)

Последняя система в матричной форме запишется в виде

(1.9)

Матрица имеет характерную форму: элементы над главной диагональю равны единице, а элементы нижней строки являются коэффициентами дифференциального уравнения, все остальные элементы являются нулями. Матрица , представленная в такой форме, называется матрицей Фробениуса или матрицей сопровождения.

Таким образом, от скалярного уравнения n -го порядка (1.7) путем замены переменных перешли к системе уравнений 1-го порядка в нормальной форме Коши (1.9), где

.

В системе (1.8) – фазовые координаты, выходом этой системы является скалярный сигнал . На практике не все координаты состояния доступны измерению, а только их некоторая часть. В данном случае можно измерить лишь сигнал x (t) = x ₁, или первую компоненту вектора состояния.

В общем случае коэффициенты правой части отличны отличны от нуля.

Рассмотрим несколько вариантов перехода к описанию системы в пространстве состояний при 1 < m < n.