Решение. 1) Экономико-математическая модель исходной задачи.

1) Экономико-математическая модель исходной задачи.

X_i - объем выпускаемой продукции на i-м филиале предприятия.

= 83X₁+89X₂+95X₃+98X₄ -> min,

Ограничения

X₁+X₂+X₃+X₄ ³ 300 (тыс. штук)

120X₁+80X₂+50X₃+40X₄ £ 18 (млн.руб.),

X_{1, 2, 3, 4} ³ 0.

Экономико-математическая модель двойственной задачи.

Y₁ - двойственная оценка выпускаемой продукции, которая может быть ценой изделия;

Y₂ - двойственная оценка капитальных вложений, которая может быть представлена как коэффициент эффективности капитальных вложений.

g = 300000 Y₁₊18000000 Y₂ -> mах

1 Y₁+120Y₂ £ 83

1 Y₁+ 80Y₂ £ 89

1 Y₁+ 50Y₂ £ 95

1 Y₁+ 40Y₂ £ 98

2) для определения оптимального плана двойственной задачи воспользуемся соотношениями второй теоремы двойственности. Если какое-либо ограничение исходной задачи выполняется как строгое неравенство, то соответствующая двойственная оценка равна нулю

().

0+100000+200000+0 = 300000

120´ 0+80´ 100000+50´ 200000+4´ 0 = 18000000

Если какая-либо переменная исходной задачи входит в оптимальный план, то соответствующее ограничение двойственной задачи выполняется как строгое равенство

).

В нашей задаче Х2=100000> 0 и Х3=200000> 0, поэтому второе и третье ограничения двойственной задачи обращаются в уравнения, решая которые найдем Y1и Y2.

1 Y₁+ 50Y₂ = 95 Y₁= 105 - средняя цена изделия

1 Y₁+ 80Y₂ = 89 Y₂ = - 0.2 - двойственная оценка капитальных вложений.

105 =95 +50´ 0.2 = 105

105 =89+ 80´ 0.2 = 105

На втором и третьем филиалах выпускать новые изделия целесообразно так как затраты на его освоение и выпуск не превышают цену изделия.

Проверим выполнение первой теоремы двойственности.

g = 300000 Y₁+18000000 Y₂ = 300000 ´ 105₊18000000´ (–0.2) = 279 000 000

= 83X₁+89X₂+95X₃+98X₄ =83´ 0+89´ 100000+95´ 200000+98´ 0 = 279 000 000.

Полученные оптимальные планы говорят о том, что в первом и четвертом филиалах размещать заказы по выпуску новых изделий невыгодно (Х1=0 и Х4=0), так как затраты на производство единицы изделия в этих филиалах больше цены изделия.

1 ´ Y₁+ 120´ Y₂ = 83 Y₁= 105 105+ 120´ (-0.2) < 95 105< 95+24 = 119

1 ´ Y₁+ 40´ Y₂ = 98 Y₂ = - 0.2105+ 40´ (-0.2) < 89 105< 98+8 = 106.

Основным литературным источником являются [5, 6, 7], а дополнительным – [8-11, 13].