Производная

Занятие №5.

7. Производная, первообразная и их применение.

Задание 7 ЕГЭ по математике посвящено производной и первообразной и всем, что с ними связано. Вопросы этого экзаменационного билета условно разделены на несколько тем: Физический смысл производной, ее геометрический смысл, первообразная.

Производная

Определение производной вводится через понятие предела функции, о котором тоже для начала необходимо рассказать. Поэтому ограничимся описаниями смысла производной.

Если задана некоторая функция y=f(x), то можно вычислить функцию f'(x), которая называется производной функции f(x). Величина f'(x) характеризует скорость изменения величины y по отношению к изменению величины x.

Например, зависимость имеет вид y=kx, тогда скорость изменения y в отношении x – k. Т.е. в этом случае f'(x)=k.

При решении этого задания нам понадобятся следующие производные:

Физический смысл производной
Пусть S = S(t) — уравнение зависимости пути от времени при движении какого-либо тела. Тогда S'(t) — скорость движения этого тела в момент времени t. Так как ускорение - это, " скорость изменения скорости движения", то V'(t) = S''(t) — ускорение движущегося тела в момент времени t.

Примеры задач:

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где х — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9с.

Решение.

Ответ: 60

Самостоятельно: Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с? (7)

Геометрический смысл производной

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту k касательной y=kx+b к графику функции y = f (x) в этой точке.

Производная в точке x₀ равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной к графику функции y = f (x) в этой точке и положительным направлением оси Ох.

Примеры задач:

2. На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки − 1, 1, 2, 4, 6. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Решение.

Значение производной в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику этой функции в точке с абсциссой x₀. f′ (x) наименьшее в точке, в которой касательная образует самый маленький тупой угол с осью Ox («горка» в этом месте на вид «самая крутая»). Проведём касательные в заданных точках (см. рис.). Тупые углы (а значит, f′ (x)< 0) в точках x=− 1 и x=4. α < β, значит, наименьшая производная в точке 4.

Ответ: 4

3. Прямая y=3x− 5 параллельна касательной к графику функции y=x²+2x− 7. Найдите абсциссу точки касания.

Решение.

Так как прямая y=3x− 5 параллельна касательной, то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой y=3x− 5, то есть k=3. Так как касательная проведена к графику функции y=x²+2x− 7, то значение производной в точке касания равно значению углового коэффициента касательной, то есть y′ (x)=3. Найдём производную функции y′ (x)=2х+2. Значит 2х+2=3, х=0, 5.

Ответ: 0, 5

Тренировка у доски:

· На рисунке изображён график функции f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀. (1)

· Прямая y=56 параллельна касательной к графику функции y=x²− 21x+9. Найдите абсциссу точки касания. (10, 5)

Самостоятельно:

· На рисунке изображён график функции y=f(x) и девять точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, …, x₉. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна? (4)

· На рисунке изображён график функции f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀. (0, 5)

Усложнённая задача из ЕГЭ: На рисунке изображён график y=f′ (x) производной функции f(x) и девять точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, …, x₉. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(x)? (6)