Расчет на сопротивление контактной усталости активных поверхностей зубьев

ПРИЛОЖЕНИЕ А

РАСЧЕТ ЗУБЬЕВ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРЯМОЗУБЫХ

ЭВОЛЬВЕНТНЫХ ЗАКРЫТЫХ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ

НА КОНТАКТНУЮ ПРОЧНОСТЬ

Расчет зубьев на контактную прочность включает расчеты на сопротивление контактной усталости и на предотвращение разрушения активных (рабочих) поверхностей зубьев при кратковременной перегрузке.

Расчет на сопротивление контактной усталости активных поверхностей зубьев

Цель расчета – определение размеров передачи при выбранном материале и заданной твердости активных поверхностей зубьев зубчатых колес, при которых не будет прогрессивного усталостного выкрашивания. Исследованиями установлено, что усталостное выкрашивание активных поверхностей зубьев от переменных контактных напряжений начинается вблизи полюса зацепления. Поэтому расчет контактных напряжений принято выполнять при контакте зубьев в полюсе зацепления, где наблюдается однопарное зацепление. Расчет рассмотрим отдельно для внешнего и внутреннего зацеплений зубьев.

Внешнее зацепление зубьев (рис. 3.13)

Контакт двух зубьев можно рассматривать как контакт двух цилиндров с радиусами кривизны r₁=N₁w и r ₁= w в полюсе зацепления w.

На рис. 3.13 обозначены: - межосевое расстояние передачи внешнего зацепления; N₁N₂ – линия зацепления (касательная к основным окружностям); - угол зацепления; и - диаметры начальных окружностей. В передачах без смещения, а также с высотным смещением начальные и делительные окружности совпадают: . При этом .

Расчетные контактные напряжения Ϭ _н на площадке контакта в зоне зацепления двух зубьев (на линии N₁N₂, проходящей через полюс зацепления w) определяют по формуле Герца, полученной для контакта двух цилиндров с параллельными осями:

Ϭ _н =0, 418 (1)

Приведенный модуль упругости Е_ПР материала шестерни 1 и колеса 2:

Для стальных зубчатых колес

.

Удельная нагрузка q – это нормальная нагрузка на единицу длины контактной линии зуба. Для контактируемой в полюсе зацепление w одной пары зубьев прямозубых зубчатых колес длина контактной линии равна рабочей ширине b_w передачи. Обычно b_w= b₂, здесь b₂ – ширина венца колеса; b₁₌ b₂+(5…10) мм.

Тогда

q = .

Нормальную результирующую силу F_п обычно определяют через окружающую силу F_t:

F_п = .

Коэффициентами К_Нβ , К_Нw и К_А учтем соответственно концентрацию нагрузки по длине зуба и дополнительные внутреннюю и внешнюю динамическую нагрузку.

В результате получаем:

. (2)

Контакт двух зубьев рассматриваем как контакт двух цилиндров с радиусами g₁ и g₂, равными радиусам кривизны профилей зубьев (эвольвент) в полюсе зацепления w:

r₁=N₁w; r₂= N₂w.

Из прямоугольного треугольника O₁N₁w имеем:

r ₁= .

Из прямоугольного треугольника O₂N₂w:

r ₂= .

Тогда приведенный радиус кривизны r_ПР для внешнего зацепления зубьев:

(3)

где - передаточное число, зубчатой пары.

Полученные выражения (2) и (3) для определения соответственно q и r_ПР подставим в формулу Герца (1):

Ϭ _Н =0, 418 .

Заменим

.

Тогда

Ϭ _Н =0, 418 .

Примем:

0, 418 .

С учетом изложенного окончательно получаем формулу для определения расчетных контактных напряжений в полюсе зацепления цилиндрической прямозубой эвольвентной зубчатой передачи внешнего зацепления:

Ϭ _Н = . (4)

Тогда условие сопротивления контактной усталости активных поверхностей зубьев данной передачи:

Ϭ _Н [ Ϭ _Н ]. (5)

Формулу (4) используют только для проверочного расчета передачи по условию (5), когда все необходимые размеры и другие параметры передачи известны.

При проектном расчете передачи необходимо определить ее размеры по заданным основным характеристикам: вращающему моменту Т₂ на колесе передачи и передаточному числу и. С этой целью решим формулу (4) относительно .

Запишем условие (5) в следующем виде:

Ϭ _Н =[ Ϭ _Н ]

или

Ϭ _Н² =[ Ϭ _Н ]².

С учетом формулы (4) имеем:

Е_ПР [ Ϭ _Н ]².

Выразим окружную силу F_t через вращающий момент Т₂ (Н.мм) на колесе зубчатой пары:

.

Тогда

Е_ПР =[ Ϭ _Н ]².

Учитывая зависимость для внешнего зацепления

Запишем

Подставив полученную величину , имеем:

Е_ПР =[ Ϭ _Н ]².

Обозначим - коэффициент рабочей ширины передачи относительно межосевого расстояния (так как , то коэффициент иначе называют коэффициентом относительной ширины колеса).

Приняв , имеем:

Е_ПР =[ Ϭ _Н ]².

Решая относительно находим:

Оценивая приближенно 1, 1…1, 3 и приняв , получаем окончательно формулу для проектного расчета цилиндрической прямозубой эвольвентной зубчатой передачи внешнего зацепления:

, (6)

где - в мм; Т₂ – в Н.мм; Е_ПР и [ Ϭ _н ] - в Н/мм².

При проектном расчете передачи коэффициентом задаются, далее определяют коэффициент и по графикам принимают коэффициент .

Следует обратить особое внимание на то, что в формулах (4) и (6) применяется параметр u, называемый передаточным числом, а не параметр i, называемый передаточным отношением.

По ГОСТ 16532-70 параметр называют передаточным числом зубчатой пары и определяют как отношение большего числа зубьев к меньшему независимо от того, как передается движение: от к или от к .

Передаточное отношение i зубчатой пары: i = ,

где и - соответственно угловая скорость, диаметр начальной окружности и число зубьев (индекс «ведущ» относится к ведущему зубчатому колесу, индекс «ведом» - к ведомому). Знак «+» приписывают внутреннему зацеплению (угловые скорости зубчатых колес имеют одинаковое направление вращения), знак «-» - внешнему зацеплению (различное направление угловых скоростей зубчатых колес). Знак передаточного отношения обычно учитывают при кинематическом исследовании планетарных зубчатых передач.

Передаточное отношение i может быть больше или меньше единицы (в понижающей передаче i > 1, в повышающей i < 1). При i =1.

Передаточное число u ³ 1.

Применение u вместо i связано только с принятой формой расчетных зависимостей для контактных напряжений Ϭ _Н, где r _ПР выражено через (меньшее зубчатое колесо, называемое шестерней), а не через (большее зубчатое колесо, называемое колесом). Величина контактных напряжений Ϭ _Н, так же как и передаточное число и не зависит от того, какое зубчатое колесо является ведущим, а величина передаточного отношения i зависит. Однозначное определение и позволяет уменьшить вероятность ошибки при расчете. Передаточное число u относится только к одной паре зубчатых колес и, как считает известный ученый и педагог профессор М.Н. Иванов, его не следует применять для обозначения передаточного отношения многоступенчатых редукторов, планетарных, цепных, ременных и других передач. Там справедливо только обозначение i.

Для понижающей передачи u=i, для повышающей u=1/i.

Внутреннее зацепление зубьев (рис.3.14)

Как и для внешнего зацепления, при внутреннем зацеплении прямых зубьев радиусы r ₁ и r ₂ их профилей в полюсе зацепления w:

;

.

Однако приведенный радиус кривизны для внутреннего зацепления зубьев определяется по формуле, отличающейся от формулы внешнего зацепления:

Формула для определения межосевого расстояния для передачи внутреннего зацепления также имеет отличие:

С учетом изложенного формулы для определения при проверочном расчете и при проектном расчете передачи внутреннего зацепления имеют вид:

(7)

(8)

где