Решение. Разложить элементарную функцию f(x) на заданном интервале в ряд Фурье:

Задача 6.

Разложить элементарную функцию f(x) на заданном интервале в ряд Фурье:

По синусам; 2) по косинусам; 3) получить одно из разложений общего вида; для каждого случая построить графики периодического продолжения f(x) и суммы ряда Фурье.

6.3

Решение

1. Для того чтобы получить разложение функции f(x) по синусам, введем вспомогательную нечетную функцию Fs(x) такую, что:

Другими словами, Fs(x) нечетное продолжение функции f(x) на [− 3, 3], полученное отображением графика f(x) относительно начала координат.

Найдем коэффициенты ряда Фурье для функции Fs(x), h = 3. Так как функция Fs(x) нечетная, то для всех натуральных n:

Функция Fs(x) по определению является нечетной, поэтому, - четная.

Кроме того, выполняется соотношение Fs(x) = f(x) следовательно, применяя свойство определенного интеграла, получим

Функция Fs(x) удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке [− 3, 3]: ограничена, монотонна и кусочно непрерывна. Следовательно, Fs(x) раскладывается в ряд Фурье, причем сумма ряда Фурье Ss(x) определена на всей числовой оси, является периодической с периодом T = 6 и удовлетворяет условиям: Ss(x) = Fs(x), x (− 3, 3);

По определению ,

,

График суммы ряда Фурье по синусам Ss(x).

График периодического продолжения функции Fs(x).

2. Для того чтобы получить разложение функции f(x) по косинусам, введем вспомогательную четную функцию Fc(x) такую, что

Fc(x) = f(x) x [0, 3].

Другими словами, Fc(x) четное продолжение функции f(x) на [− 3, 3], полученное отображением графика f(x) относительно оси ординат.

Найдем коэффициенты ряда Фурье для функции Fc(x), h = 3. Так как функция Fc(x) четная, то bn = 0, для всех натуральных n найдем

Функция Fc(x) по определению является четной, применяя свойство определенного интеграла, получим

Далее

Функция Fc(x) cos π nx — четная, тогда по свойству определенного интеграла

Кроме того, выполняется соотношение Fc(x) = f(x) = x, x [0, 3], следовательно,

sin π n = 0, cos π n = (− 1)ⁿ, n N. Функция Fc(x) удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке [− 3, 3]: ограничена, кусочно монотонна и непрерывна. Следовательно, Fc(x) раскладывается в ряд Фурье, причем сумма ряда Фурье Sc(x) определена на всей числовой оси, является периодической с периодом T = 6 и удовлетворяет условиям:

Sс(x) = Fс(x), x (− 3, 3);

То есть x [− 3, 3];

По определению ,

График суммы ряда Фурье по косинусам Sc(x).

График периодического продолжения совпадает с графиком Sc(x).

3). Получим одно из общих разложений функции f(x) в ряд Фурье, продолжая ее на промежутке [− 3, 0) нулем, то есть зададим вспомогательную функцию

Заметим, что f(x) = F₀(x), x [0, 3]. Вычислим коэффициенты ряда Фурье функции F₀(x).

Так как функция F₀(x) кусочно заданная, то разобьем промежуток интегрирования на два [− 3, 0] и [0, 3], причем на отрезке [− 3, 0] функция F₀(x) зануляется. Получим

Далее найдем, используя результаты пунктов 1 и 2:

Функция F0(x) удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке [− 3, 3]: ограничена, монотонна и непрерывна. Следовательно, F₀(x) раскладывается в ряд Фурье, причем сумма ряда Фурье S₀(x) определена на всей числовой оси, является периодической с периодом T = 6 и удовлетворяет условиям:

S₀(x) = F₀(x), x (− 3, 3); S₀(− 3) = S₀(3) =

По определению f(x) = F₀(x) на [0, 3], поэтому

) на [0, 3),

График суммы ряда Фурье S₀(x).

График периодического продолжения.