Применение корреляционно-регрессионного анализа для целей прогнозирования

В прогнозировании использования земельных ресурсов наиболее широко применяются математические методы, использование которых предполагает выявление причинно-следственных связей, закономерностей и количественных зависимостей между факторами, обуславливающими развитие конкретного процесса. При изучении конкретных зависимостей одни признаки выступают в качестве факторов, обуславливающих изменение других признаков. Эти признаки называются факторами, а признаки, которые изменятся под влиянием факторов - результативными.

Зависимость между факторами рассмотрим на основании данных таблицы 1.4. «Динамика распределения земель по категориям за период с 1975 по 1985 годы».

Каждый студент исследует зависимость между факторами – временем наблюдения (лет) и площадью земель определенной категории (га). В соответствии с числом категорий земель (шесть) рассмотрим 6 зависимостей.

Зависимость №6 – зависимость между продолжительностью наблюдения (лет) и площадью земель государственного водного фонда.

Один из методов прогнозирования экстраполяции: метод наименьших квадратов, в котором выполняется корреляционный анализ, после него – регрессионный анализ.

1. Корреляционный анализ состоит из 2-х частей:

а) Графическое представление коррелированности двух случайных величин Х и У (рис.2.1.).

б) Вычисление коэффициента корреляции между величинами, для этого составляется вспомогательная таблица 2.1. на основании распределения земель по категориям (из табл. 1.4.).

Х – длительность наблюдения (годы),

У - площадь соответствующей категории (га).

Оценка степени соответствия экономико-статистической модели изучаемому процессу осуществляется с использованием специальных коэффициентов (корреляции, детерминации, существенности и др.) Данные коэффициенты позволяют определять, можно ли использовать полученную информацию для проведения последующих расчетов и принятия землеустроительных решений, соответствует ли математическое выражение изучаемому процессу.

Таблица 2.1.

Вспомогательная таблица для вычисления коэффициента корреляции

X (годы)	У (площадь, га)
		-5		-3810
		-4		-2164
		-3		-960
		-2		-198
		-1	-122
			-344
			-313	-313
			-282	-564
			-251	-753
			-220	-880
			-188	-940
∑ =66	∑ =63516			∑ = -10460	∑ =110	∑ =1442984
=6	=5774

Из теории статистики мы знаем, что коэффициент корреляции есть соотношение:

; (2.1.)

где - корреляционный момент;

- среднее квадратическое отклонение величин.

Находим: ; (2.2.)

; (2.3.)

; (2.4.)

Существует шкала оценки корреляционной связи:

от 0 до 0, 33 – слабая степень (связь практически отсутствует);

от 0, 33 до 0, 66 – средняя степень;

от 0, 66 до 1, 00– сильная степень;

1, 00 – полная корреляция.

В нашем случае коэффициент корреляции составит

;

Это свидетельствует о том, что связь между Х и У сильная.

Определим стандартную ошибку коэффициента корреляции по формуле:

-это свидетельствует о том, что ошибка незначительна.

2. Регрессионный анализ.

Теперь установим регрессию. В данном случае зависимость устанавливается между величинами Х и У, а параметры а₀ и а₁ неизвестны. Известными являются ряды Х и У. Из графика (рис. 2.1а и 2.2.) мы видим, что зависимость определена (примерно) функцией

, (2.5.)

т.е. степенной зависимостью.

Для того чтобы найти коэффициенты a₀, a₁ приведём уравнение к линейному виду логарифмированием:

ln y = ln a₀ + a₁ ln x

ln y = Y

ln a₀ = A₀

Y = A₀ + a₁ ln x

Имеем ряд наблюдений:

Снова составляем квадратичную форму

;

Составим таблицу 2.2., в которой и найдем значения, необходимые для составления данной системы, следовательно, и для дальнейшего ее решения.

;

Для решения данной системы уравнений необходимо разделить все уравнения на коэффициенты при Ао каждого уравнения и получим:

(А)

Вычитаем первое уравнение из второго и найдем a₁, получим:

.

Подставим величину a₁ в уравнение (А) и получим Ао

;

;

.

 

Таблица 2.2.

Вспомогательная таблица для решения системы уравнений

Года	Yi=ln y	ln xi	Yi*ln xi	(ln xi)^2
	8, 785081
	8, 750683	0, 693147	6, 065511	0, 480453
	8, 71506	1, 098612	9, 574472	1, 206949
	8, 678121	1, 386294	12, 03043	1, 921812
	8, 639765	1, 609438	13, 90516	2, 59029
	8, 599694	1, 791759	15, 40858	3, 210402
	8, 605387	1, 94591	16, 74531	3, 786566
	8, 611048	2, 079442	17, 90617	4, 324077
	8, 616676	2, 197225	18, 93277	4, 827796
	8, 622274	2, 302585	19, 85352	5, 301898
	8, 628019	2, 397895	20, 68909	5, 749902
Сумма	95, 25181	17, 50231	151, 111	33, 40015

 

Таким образом, уравнение регрессии будет иметь вид:

.

 

	Параболическая зависимость
		Р, га

 

	Р, га

 

а)

 

 

 

	Р, га

б

 

 

 

	Р, га

в)

 

Линейная зависимость

А, лет

Р, га

 

 

Р, га

г)

 

		Степенная зависимость

 

 

 

 

	Р, га

д)

 

 

	Степенная зависимость
		А, лет

 

 

		А, лет
	Р, га

 

 

е)

 

Рис 2.1. Зависимость между факторами: временем наблюдения и площадью земель определенных категорий: а) земли с/х назначения; б) земли государственного земельного запаса (ГЗЗ);

в) земли государственного лесного фонда (ГЛФ); г) земли населенных пунктов (ЗНП);

д) земли промышленности, транспорта и земель иного не с/х назначения;

е) земли государственного водного фонда (ЗГВФ).