тапсырмалар (ЕГТ)

Статиканың есептерін шешу ү шін қ олданылатын ә діс – аналитикалық ә діс [2]. Оны мына тә ртіппен қ олданғ ан жө н болады. Алдымен есептің мағ ынасын тү сініп, нені табу керек екенің анық тау керек. Содан соң есепке арналғ ан суретті салу қ ажет. Одан кейін:

- тепе-тең дігі зерттелетін объектті (денені немесе нү ктені) анық тау;

- осы объектке тү сірілген кү штерді суретте кө рсету;

- денеге тү сірілген байланыстарды анық тау, оны байланыстардан босату жә не алып тастағ ан байланыстардың реакцияларын суретте кө рсету;

- қ ұ растырғ ан кү штер жү йесін (берілген жә не реакцияларды) талдау, тепе-тең дік тең деулердің саның анық тау;

- есепте белгісіздердің санын жә не есеп статикаша анық талғ ан ба жоқ па анық тау;

- координат ө стерді таң дап, барлық кү штер ә серінен қ арастырып отырғ ан дене ү шін тепе-тең дік шарттарды қ ұ ру;

- есептің шарты бойынша қ ұ растырылғ ан тең деулерден белгісіздерді табу.

Тепе-тең дік тең деулерді жалпы тү рде шешу жө н болады.

Статика есептерінің кө бісінде байланыстар реакцияларының шамасы мен бағ ытын алдын ала кө рсетуге болмайды. Бұ л жағ дайларда белгісіз реакцияны координат ө стерге сә йкес қ ұ рушыларына жіктеп, тепе-тең дік шарттарғ а белгісідер ретінде ең гізеді. Егер тең деулердің шешу нә тижесінде байланыс реакцияның қ ұ рушысының біреуі теріс шама болып шық са, онда ол суретте кө рсетілген бағ ытқ а кері бағ ытталады.

Кү ш моментін есептегенде кү шті қ ұ рушыларына жіктеп Вариньон теоремасын қ олдануғ а тиімді болады.

Статикада бір-бірімен жанаса орналасқ ан денелердің тепе-тең дігі де қ арастырылады. Бұ л жағ дайда жү йеге кіретін ә рбір дене ү шін тепе-тең дік тең деулер қ ұ растырылады жә не жү йенің бө лінген жеріне қ ос-қ остан жә не қ арама-қ арсы кү штерді тү сіру керек.

Кейбір жағ дайларда денелер жү йесінің тепе-тең дігін жалпы қ арап (қ атаю заң ына сү йеніп), сонан соң қ осымша кейбір денелердің тепе-тең дік жағ дайы қ аралады.

2.2 № 2 есептеу-графикалық тапсырма

Шешуі. Алдымен бұ рышының мә нін анық тайық, яғ ни кө лбеу жазық тық пен дене сырғ анағ андағ ы бұ рышының мә нін. Кө лбеу жазық тық та жатқ ан жү кке (4.2 - сурет) ә сер ететін: Р - ауырлық кү ш, N - нормаль реакция жә не F ү йкеліс кү ш. х ө сін кө лбеу жазық тық пен бағ ыттайық, ал у ө сін – оғ ан перпендикуляр (нормалімен бағ ытталғ ан). Жү ктің тепе-тең дік тең деулерін қ ұ растырайық:

Бұ л тең деулерді шешіп, алатынымыз N=Pcos , F=P sin немесе N ү шін ө рнекті ескерсек, мынағ ан келеміз

F=N tg . (4.1)

Бұ л нә тижелер тек тепе-тең дік ү шін, яғ ни бұ рыштың тек нө лден -ғ а дейін ө згергенде орынды болады. Бұ рыш болғ ан кезде жү кке шекті ү йкеліс кү ш ә сер етеді. Бұ л мә нді (4.1) тең дікке апарып қ ойғ анда, алатынымыз

, (4.2)

бұ дан . Жү ктің кө лбеу жазық тық та тепе-тең дік шарты:

4.2 - сурет

, или . (4.5)

болғ андық тан (мұ нда - ү йкеліс бұ рышы), онда (4.2) формуладан . Кө лбеу жазық тық та жатқ ан дененің тепе-тең дігі -ның ең ү лкен мә ні ү йкеліс бұ рышқ а тең болғ ан жағ дайда сақ талады.

Ескертіп кететін жағ дай: дененің шекті тепе-тең дік жағ дайларын есептегенде кү шті формуладананық тау керек (жалпы жағ дайда N жү ктің Р салмағ ына тең емес). Дененің тепе-тең дігі шекті емес жағ дайда , онда ү йкеліс кү шінің мә нін табу ү шін тепе-тең дік тең деулерді қ олдану керек.

2 мысал. Блок А арқ ылы асырлып тасталғ ан жіп радиусы r, салмағ ы Q цилиндрді (4.3 - сурет) кө лбеу жазық тық та тепе-тең дік кү йінде сақ тайды. Кө лбеу бұ рыш . Жіпке салмағ ы P жү к ілінген. Цилиндрдің домалау ү йкеліс коэффициенті .

Цилиндр тепе-тең дік жағ дайын сақ тап, оның P салмағ ының ең ү лкен жә не ең кіші мә ндерін анық тау керек. Цилиндр сырғ анаусыз домалағ анда сырғ анау ү йкеліс коэффициентінің ең кіші мә нін табу керек [5].

		А
		Р

Шешуі. Цилиндрдің тепе-тең дігін екі жағ дайда қ арастырайық.

1 жағ дай. P кү шінің мә ні - ең кіші, онда цилиндрдің қ озғ алысының бағ ыты – кө лбеу жазық тық пен тө мен қ арай болады (4.4 - сурет). Кө лбеу жазық тық қ а цилиндрдің О ортасынан тү сірілген перпендикулярдан кашық тық қ а солғ а қ арай нү кте С –ден ө тетін жазық тық тың реакциясы тү сіріледі. Цилиндрге ә сер ететін екі актив кү штер: Q жә не жіптің керілуі .

Цилиндрді ойша байланыстан босатып, кө лбеу жазық тық тың ә серін N нормаль жә не жанама (ү йкеліс кү ші F) қ ұ рушылармен алмастырамыз. N қ ұ рушы кө лбеу жазық тық қ а перпендикуляр жә не қ озғ алыс мү мкін болатын бағ ытқ а қ арама-қ арсы.

Цилиндрдің тепе-тең дігін еркін дененің тепе-тең дігі деп қ арастырайық, оғ ан ә сер ететін тө рт кү ш: Q, , N, F.

С нү ктеге қ атысты барлық кү штердің моменттерінің қ осындысын табайық:

(4.3)

Бұ л тең деуге белгісіз N жә не F кү штер кірген жоқ, себебі олар С нү ктеде тү сірілген. Тең деуді қ ұ рғ анда біз Q кү шті екі қ ұ рушығ а жіктедік: , ол кө лбеу жазық тық қ а перпендикуляр (С нү ктеге қ атысты бұ л қ ұ рушының иіні домалау ү йкеліс коэффициентіне тең), жә не , ол кө лбеу жазық тық қ а параллель жә не одан r қ ашық тық та жатыр. (4.3) тең деуді қ атысты шешкен кезде, алатынымыз:

. (4.4)

2 жағ дай. P кү шінің мә ні – максимум мә ні. Бұ л жағ дайда цилиндрдің мү мкін болатын қ озғ алысының бағ ыты – кө лбеу жазық тық пен жоғ ары қ арай (4.5 - сурет).

Q жә не кү штердің бағ ытталуы бірінші жағ дайғ а сә йкес. Кө лбеу жазық тық тың реакциясы енді нү ктеде тү сірілген, бұ л нү кте қ ашық тық қ а оң ғ а қ арай орналасады.

нү ктеге қ атысты моменттердің тең деуін қ ұ растырайық:

бұ дан алатынымыз:

. (4.5)

Сонымен, цилиндр кө лбеу жазық тық та тепе-тең дікте болады, егер P ү шін мына шарт орындалса

. (4.6)

Цилиндр сырғ анаусыз домалап келе жатқ анда оның сырғ анау ү йкеліс коэффициентін анық тайық. Жү ктің P салмағ ы ең аз болғ ан жағ дайын қ арастырайық.

x жә не y ө стеріне барлық кү штердің проекцияларының қ осындыларын нө лге тең істірейік (4.4 - сурет). Бірінші тең деуге

(4.7) сә йкес келетін шаманы апарып қ ойғ анда, домалаудағ ы ү йкеліс кү шін табамыз:

.

Тепе-тең діктің екінші тең деуі

нормаль реакцияны табуғ а мү мкіншілік береді

.

Сырғ анау болатын шарт:

, (4.7)

мұ нда f –сырғ анау ү йкеліс коэффициенті. F жә не N мә ндерін орнына қ ойып, табатынымыз:

. (4.8)

Жү ктің салмағ ы P ең ү лкен мә нде болатын жағ дайын қ арастырайық (5 -сурет). Проекцияларының тең деулері:

; . (4.9)

тең деуге қ ойып, табатынымыз:

; .

Бұ л мә ндерді (4.7) –ге апарып қ ойғ анда, домалаудың шартын алатынымыз:

.

Бұ л шарт (4.8) – мен дә лме-дә л.

4.2^*Статика. «Жазық фермаларды есептеу»

3 мысал. Берілген кү штер ә серінен (4.6 - сурет) ферманың тірек реакцияларын жә не тү йіндерді кесіп алу ә дісі бойынша барлық сырық тардағ ы кү штерді табу керек. 2 кН, 4 кН, 6 кН, а = 4, 0 м; h = 3, 0 м.

Қ осымша: Риттердің ә дісі бойынша сол кү штер ә серінен ферманың ү ш сырығ ында кү штерді анық тау керек.

Шешуі. 1. Тіректердің реакцияларын анық тау. Фермағ а ә сер ететін сыртқ ы кө рсетейік: актив (берілген) кү штер , , жә не А, В тіректердің (4.7 - сурет) реакциялары.

	4.6-сурет			4.8 - сурет

А тіректің реакциясының ә сер ету сызығ ы белгісіз болғ андық тан, оның қ ұ рушыларын жә не координаттық ө стер бойынша табайық.

В тірек – сырық; сондық тан оның реакциясының ә сер ету сызығ ы белгілі – ол сырық бойымен бағ ытталады.

Фермағ а ә сер ететін кү штердің тепе-тең дік тең деулерін қ ұ растырайық:

Бұ л тең делерден

; ; .

2. Тү йіндерді кесіп алу ә діс арқ ылы ферма сырық тарында кү штерді анық тау.

Ферманың тү йінде қ иылысатын сырық тар сол тү йін ү шін байланыстар болып табылады. Байланыстарды ойша алып тастап, олардың ә серін реакциялармен алмастырамыз. 4.8 - суретте активтік жә не реактивтік кү штер ә сер ететін ферманың тү йіндері кө рсетілген.

i номерімен белгілінген сырық тағ ы кү шті деп белгілейік. М тү йінге ә сер ететін сырық тың реакциясы - . М жә не N тү йіндерді қ осатын сырық ү шін

, но .

Жорамал бойынша сырық тар созылғ ан деп, олардың реакциялары тү йіндерден сырық тардың ішіне қ арай бағ ытталғ ан деп кө рсетілген. Егер шешудің нә тижесінде сырық тың реакциясы теріс таң балы болып шық са, онда сол сырық сығ ылғ ан болады.

Ә р тү йін ү шін тепе-тең дік шарттарын жазайық: и

Бұ л тең деулерден барлық кү штерді жә не тіректердің реакцияларын анық тауғ а болады, сондық тан тіректер реакцияларын алдын ала табу қ ажеті жоқ. Шынында, тү йіндердің саны 7 (А, В, С, D, E, F, H) тең, тең деулердің саны – 14, белгісіздердің саны да 14, яғ ни 11 кү ш сырық тарда жә не 3 тіректердің реакциялары. Ертерек табылғ ан тіректердің реакцияларын шешімінің тексеру ретінде қ абылдауғ а болады.

Егер ЭЕМ-ны қ олданбай тең деулер шешілетін болса, онда тү йіндердің тепе-тең дік тең деуіне кіретін белгісіздердің саны екіден аспау керек.

H тү йінен бастайық:

бұ дан табатынымыз

(сырық сығ ылғ ан) жә не

Е тү йін ү шін:

бұ дан алатынымыз

и (сырық сығ ылғ ан).

Одан кейін F, С, D, В, А тү йіндерге ә сер ететін кү штердің тепе-тең дік тең деулерін қ ұ растырайық. Сырық тардағ ы кү штердің кестесін (1 кесте) жә не нақ ты кү штермен ферманың схемасын келтірейік (4.9 - сурет).

1- кесте

3. Риттердің ә дісі бойынша сырық тардағ ы кү штерді анық тау.

4, 5 жә не 8 сырық тардағ ы кү штерді анық тайық.

Риттердің ә дісі бойынша ә р кү ш жеке тең деуден анық талғ ан жә не ол басқ а сырық тардағ ы кү штер арқ ылы жазылмағ ан болу керек.

S₄ жә не S₅ кү штерді анық тау ү шін ферманы ойша I – I қ имамен кесейік (4.10 -сурет). Ферманың жоғ ары жағ ына ә сер ететін кү штердің тепе-тең дігін қ арастырайық.

Ферма бө лігін таң дауы есептегіш жұ мыстың кө лемімен анық талады (қ арастырып отырғ ан жағ дайда ферманың жоғ ары бө лігінің таң дауы - тіректер реакцияларынан тә уелсіз, тек берілген кү штер арқ ылы белгісіз кү штерді табуғ а болады). Ферманың тө менгі бө лігінің жоғ арғ ы бө лігіне ә сері S₄, S₅ жә не S₆ кү штермен кө рсетілген.

Айтқ андай, барлық сырық тар созылғ ан деп жорамалдаймыз. Есептің жауабында минус таң басы сырық тың сығ ылғ анын кө рсетеді.

S₄ табу ү шін S₅ жә не S₆ кү штердің ә сер ету сызық тары қ иылысатын F нү ктеге қ атысты кү штердің моменттерінің тең деуін қ ұ растырайық (4 сырық ү шін Риттердің нү ктелері):

Бұ дан алатынымыз:

-ны табу ү шін кү штерді х ө сіне проекциялаймыз, онда

Осыдан

кү шті анық тау ү шін II – II қ иманы жү ргіземіз (қ иманы 8, 7 жә не 6 сырық тардан да жү ргізуге болар еді). Ферманың тө менгі бө лігіне ә сер ететін кү штердің тепе-тең дігін қ арастырайық (4.11 - сурет). 8 сырық ү шін Риттердің нү ктесі D тү йін болады, мұ нда жә не кү штердің ә сер ету сызық тары қ иылысады, сондық тан:

Бұ дан алатынымыз:

4.3 Кинематика. «Параллель ө стерге қ атысты қ атты дененің

айналуларын қ осу»

Механика мамандық тарына бә сең деткіш звеноларының бұ рыштық жылдамдық тарын анық тауғ а арналғ ан есептерді қ арастырғ ан жө н болады.

Механизмдер қ озғ алысына арналғ ан есептерін шешуде нү кте жә не қ атты дене кинематикасының формулаларын қ олдану керек.

Қ озғ алмайтын ө ске қ атысты бір дененің айналуын екінші дененің айналуына тү рлендіруін екі доң ғ алақ тың тісті немесе ү йкелісті беріліс арқ ылы немесе белдік беріліспен істеуге болады.

Іштей ілінісу берілісінде жә не айқ ас емес белдікті берілісінде екі доң ғ алақ тардың айналуының бағ ыттары бірдей. Сырттай ілінісу берілісінде жә не айқ ас белдікті берілісінде доң ғ алақ тардың айналулары қ арама-қ арсы. Тісті доң ғ алақ тардың ілінісудегі нү ктелердің жылдамдық тары бірдей. Егер белдіктің шкивпен сырғ анауы жоқ болса, онда белдік берілістегі шкивтердің жылдамдық тары бірдей болады. Доң ғ алақ тардың бұ рыштық жылдамдық тары тістердің санына, немесе радиустарына, немесе диаметрлеріне кері пропорционал:

,

мұ нда - бұ рыштық жылдамдық тардың модульдері; - бастапқ ы шең берлердің радиустары; - бастапқ ы шең берлердің диаметрлері; - сә йкестеп алынғ ан бірінші жә не екінші доң ғ алақ тардың тістерінің саны.

Бірізді қ осылыста ә р доң ғ алақ ө з қ озғ алмайтын ө ске қ атысты айналады. Доң ғ алақ тардың параллель қ осылысы да жиі қ олданады, бұ л жағ дайда доң ғ алақ тардың екеуі де бір қ озғ алмайтын ө ске қ атысты айналады. Егер олар ө з ара қ атан бекітілген болса, онда олардың бұ рыштық жылдамдық тары бірдей.

Мұ ндай берілістерге арналғ ан есептерді бірнеше ә дістермен шешуге болады, олар:

- дененің параллель ө стерге қ атысты айналуларды қ осу туралы теорема арқ ылы;

- қ атты дене жазық қ озғ алысының теориясы;

- Виллистің ә дісі бойынша.

Виллистің ә дісі бойынша механизм звеноларының айналу бағ ытын жә не бұ рыштық жылдамдық тарын табуғ а болады, бірақ бұ л ә діс звенолардың нақ ты қ озғ алысын анық тауғ а мү мкіншілік бермейді. Кү рделі механизмдер звеноларының бұ рыштық жылдамдық тарын анық тауда бұ л ә дістің қ олдануы есептің шешуін жең ілдетеді. Егер есеп Виллистің ә дісімен қ атар басқ а ә діспен шешілген болса, онда шешудің нә тижелерін бір-бірімен салыстырып, механизмінің барлық звеноларының айналулардың нақ ты бағ ыттарын анық тауғ а болады.

4мысал (№ 24.8 есеп [4]). Жылдамдық тардың бә сең деткіші (4.12 - сурет)

радиусы қ озғ алмайтын, радиустары жә не ө з ара қ осылғ ан екі қ озғ алмалы жә не жетектегі білікте ішкі ілініспен орналасқ ан радиусы тістегеріштерден тұ рады. Жетекші білік жә не кривошиптің минуттағ ы айналулардың саны Жетектегі біліктің минуттағ ы айналуының санын табу керек.

Шешуі А) Виллис ә дісін қ олданайық. 1. Тістегеріштердің қ озғ алысын кү рделі деп қ арастырайық, ол параллель ө стерге қ атысты екі айналулардан тұ рады. Кривошиптің айналуын тасымал, ал тістегеріштердің ө з ө стеріне қ атысты айналуларын (кривошиптің қ озғ алысы тоқ тағ ан деп есептегенде) салыстырмалы қ озғ алыстар деп қ абылдайық.

2. 2 кестені қ ұ растырайық, оғ ан тістегеріштердің абсолют бұ рыштық жылдамдық тары мен салыстырмалы бұ рыштық жылдамдық тарды жазайық.

2 - кесте

Бұ рыштық жылдамдық тар	Кри Кривошип	Тістегеріштер
	2, 3
Тоқ тағ анша
Тоқ тағ аннан кейін	0

Мұ нда - бұ рыштық жылдамдық тардың алгебралық мә ндері.

Кривошип тоқ тағ ан жағ дайда жай берілісті аламыз, ол ү шін (2 - кестеде соң ғ ы жол) тістегеріштердің ішкі жә не сыртқ ы іліністерді ескеріп, мына қ атынастарды жазуғ а болады:

Оларды бір-біріне кө бейтіп, алатынымыз . Бұ дан

Онда

айн/мин.

Б) осы есепті қ атты дене жазық қ озғ алысының теориясын пайдаланып шешейік (лездік жылдамдық тар центрі арқ ылы).

Тістегеріштердің қ озғ алыстарын жазық -параллель деп қ арастырайық (4.13 - сурет). А нү ктені ОА кривошиптың нү ктесі деп, оның жылдамдығ ын табайық:

м/с.

Тістегерішің В нү ктесінде жылдамдық ты анық тайық. Оның абсолют бұ рыштық жылдамдығ ы жә не лездік жылдамдық тар центрі Р нү ктеде орналасады.

ескеріп, табатынымыз:

.

Онда

айн/мин.

Тістегеріштердің жылдамдық тарының таралу заң ын жылдамдық тар сызбасы арқ ылы кө рсетуге болады (4.13 - сурет). Жылдамдық тар ү шбұ рыштарын салуы есептің геометриялық шешімі болады. Жылдамдық тар ү шбұ рышы механизмінің сыртына шығ арылады, механизм жә не жылдамдық тар масштабпен сызылады.

вектор А нү ктесінің жылдамдығ ы болады. нү кте ретінде жә не тү зулердің қ иылысу нү ктесін аламыз, яғ ни . вектор В нү ктенің жылдамдығ ы болады.

			4.13 - сурет

4.4 Динамика. «Даламбер принципі»

Материалық нү ктелер жү йесі ү шін Даламбер принципі былай айтылады: қ озғ алыстағ ы механикалық жү йесінің ә р нү ктесіне тү сірілген актив кү штер, байланыстар реакциялары жә не инерция кү штері нө лге эквивалент кү штер жү йесін қ ұ райды[2]. Материалық нү ктенің инерция кү ші , қ атты дене ү шін инерцияның бас векторы мен бас моменті анық талады.

Егер қ атты дене ілгерілемелі қ озғ алыс жасаса, онда инерция кү штерінің тең ә сер етушісі дененің массалар центрінде тү сірілген. Егер массалар центрі дененің айналу ө сінде жатса, онда инерция кү штерінің бас векторы нө лге тең болады, яғ ни , сондық тан инерция кү штері айналудағ ы дене ү шін моменті тең қ ос кү шке келтірледі.

Даламбер принципін қ олданғ ан жағ дайда есептердің шешу реті мынадай:

- суретте жү йенің ә р нү ктесіне ә сер ететін актив кү штер кө рсетіледі;

- байланыстардан босату аксиомасын қ олданып байланыстардың реакциялары кө рсетіледі;

- жү йенің ә р нү ктесіне ә сер ететін актив кү штер мен байланыстар реакцияларғ а инерция кү штері тү сіріледі;

- тепе-тең дік тең деулер қ ұ рылады;

- қ орытып алғ ан тең деулер жү йесі шешіліп, табу керек болатын шамалар анық талады.

5 мысал. Салмағ ы дене В тө мен қ арай қ озғ алып, қ озғ алмайтын блоктан К асырлып тасталғ ан салмақ сыз жә не созылмайтын жіп арқ ылы салмағ ы дене А- ны кө кжиекпен бұ рыш жасайтын беті кедір-бұ дыр кө лбеу жазыктық пен қ озғ алысқ а келтіреді (4.14 - сурет).

С нү ктеге кө лбеу жазық тық тың қ ысымының горизонталь қ ұ рушысын жә не жіптің керілуін табу керек. Кө лбеу жазық тық пен А дененің сырғ анау ү йкеліс коэффициенті .

		4.14 - сурет

Шешуі. 1. А, В, Д денелерден, К блогынан жә не АКВ жіптен қ ұ рылғ ан жү йені қ арастырайық (4.15 - сурет).

		4.15 - сурет

2. Жү йеге ә сер ететін актив кү штерді кө рсетеміз: